【題目】已知函數(shù)f(x)=
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)判斷并證明f(x)的單調(diào)性;
(3)求關(guān)于x的不等式f(2x﹣1)+f(x+3)>0的解集.

【答案】
(1)解:函數(shù)的定義域為R,

因為f(x)= = = = ,

所以f(﹣x)= = ,

則f(x)+f(﹣x)= + =0,

所以f(x)是奇函數(shù)


(2)解:函數(shù)f(x)在(﹣∞,+∞)上為減函數(shù),

由(1)得,f(x)= ,

設(shè)任意x1,x2∈R,且x1<x2,

f(x1)﹣f(x2)= ﹣(

= = ,

∵x1<x2,∴ ,

∴f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

∴函數(shù)f(x)在(﹣∞,+∞)上為減函數(shù)


(3)解:由(1)得f(x)是奇函數(shù),

∴不等式f(2x﹣1)+f(x+3)>0等價于f(2x﹣1)>f(﹣x﹣3),

∵函數(shù)f(x)在(﹣∞,+∞)上為減函數(shù),

∴2x﹣1<﹣x﹣3,解得x< ,

∴不等式的解集是(﹣∞,


【解析】(1)求出函數(shù)的定義域,利用指數(shù)的運算法則化簡f(x)、f(﹣x),由函數(shù)奇偶性的定義判斷出奇偶性;(2)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出f(x)的單調(diào)性,利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性步驟:取值、作差、變形、定號、下結(jié)論進行證明;(3)由奇函數(shù)的性質(zhì)等價轉(zhuǎn)化不等式f(2x﹣1)+f(x+3)>0,由單調(diào)性列出不等式求出解集.
【考點精析】本題主要考查了奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識點,需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性才能正確解答此題.

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