【題目】已知函數(shù),其中, 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),求曲線處的切線方程;

2求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;

3)若恒成立,求的取值范圍.

【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí), 無(wú)單調(diào)減區(qū)間;當(dāng)時(shí), 的單調(diào)減區(qū)間是;當(dāng)時(shí), 的單調(diào)減區(qū)間是.(3)

【解析】試題分析:(1)先對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行求導(dǎo),再借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,運(yùn)用點(diǎn)斜式求出切線方程;(2)先對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行求導(dǎo),然后借助導(dǎo)函數(shù)的值的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行分類分析探求;(3)先不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)及分類整合的數(shù)學(xué)思想探求函數(shù)的極值與最值,進(jìn)而分析推證不等式的成立求出參數(shù)的取值范圍。

解:(1)因?yàn)?/span>,所以.

因?yàn)?/span>,所以.

所以切線方程為.

(2) 因?yàn)?/span>,

當(dāng)時(shí), 所以無(wú)單調(diào)減區(qū)間.

當(dāng)時(shí),列表如下:

所以的單調(diào)減區(qū)間是.

當(dāng)時(shí), ,列表如下:

所以的單調(diào)減區(qū)間是.

綜上,當(dāng)時(shí), 無(wú)單調(diào)減區(qū)間;

當(dāng)時(shí), 的單調(diào)減區(qū)間是;

當(dāng)時(shí), 的單調(diào)減區(qū)間是.

(3) .

當(dāng)時(shí),由(2)可得, 上單調(diào)增函數(shù),

所以在區(qū)間上的最大值,符合題意.

當(dāng)時(shí)由(2)可得,要使在區(qū)間上恒成立,

只需, ,解得.

當(dāng)時(shí),可得, .

設(shè),則,列表如下:

所以,可得恒成立,所以.

當(dāng)時(shí),可得,無(wú)解.

綜上, 的取值范圍是.

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