【題目】如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的,G是 的中點.(12分)
(Ⅰ)設(shè)P是 上的一點,且AP⊥BE,求∠CBP的大;
(Ⅱ)當(dāng)AB=3,AD=2時,求二面角E﹣AG﹣C的大小.

【答案】解:(Ⅰ)∵AP⊥BE,AB⊥BE,且AB,AP平面ABP,AB∩AP=A,
∴BE⊥平面ABP,又BP平面ABP,
∴BE⊥BP,又∠EBC=120°,
因此∠CBP=30°;
(Ⅱ)解法一、

的中點H,連接EH,GH,CH,
∵∠EBC=120°,∴四邊形BEGH為菱形,
∴AE=GE=AC=GC=
取AG中點M,連接EM,CM,EC,
則EM⊥AG,CM⊥AG,
∴∠EMC為所求二面角的平面角.
又AM=1,∴EM=CM=
在△BEC中,由于∠EBC=120°,
由余弦定理得:EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12,
,因此△EMC為等邊三角形,
故所求的角為60°.
解法二、以B為坐標原點,分別以BE,BP,BA所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系.

由題意得:A(0,0,3),E(2,0,0),G(1, ,3),C(﹣1, ,0),
,
設(shè) 為平面AEG的一個法向量,
,得 ,取z1=2,得 ;
設(shè) 為平面ACG的一個法向量,
,可得 ,取z2=﹣2,得
∴cos< >=
∴二面角E﹣AG﹣C的大小為60°.
【解析】(Ⅰ)由已知利用線面垂直的判定可得BE⊥平面ABP,得到BE⊥BP,結(jié)合∠EBC=120°求得∠CBP=30°;
(Ⅱ)法一、取 的中點H,連接EH,GH,CH,可得四邊形BEGH為菱形,取AG中點M,連接EM,CM,EC,得到EM⊥AG,CM⊥AG,說明∠EMC為所求二面角的平面角.求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小.
法二、以B為坐標原點,分別以BE,BP,BA所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系.求出A,E,G,C的坐標,進一步求出平面AEG與平面ACG的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大。
【考點精析】認真審題,首先需要了解旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺)(常見的旋轉(zhuǎn)體有:圓柱、圓錐、圓臺、球),還要掌握直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

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A.160
B.163
C.166
D.170

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A.
B.
C.
D.

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