Question

設(shè)F為拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)P（-1，0）的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，若|FQ|=2，則直線l的斜率等于（　�。�

• A．

  2

• B．1
• C．±1
• D．不存在

Answer 1

分析：由題意設(shè)直線l的方程為my=x+1，與拋物線方程聯(lián)立得到y(tǒng)²-4my+4=0，△=16m²-16=16（m²-1）＞0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀）．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得y₁+y₂=4m，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可得出m及k，再代入△判斷是否成立即可．

解答：解：由題意設(shè)直線l的方程為my=x+1，聯(lián)立

my=x+1 y2=4x

，
得到y(tǒng)²-4my+4=0，△=16m²-16=16（m²-1）＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀）．
∴y₁+y₂=4m，∴y₀=

y1+y2

2

=2m，∴x₀=my₀-1=2m²-1．
∴Q（2m²-1，2m），
由拋物線C：y²=4x得焦點(diǎn)F（1，0）．
∵|QF|=2，∴

(2m2-2)2+(2m)2

=2，化為m²=1，解得m=±1，不滿足△＞0．
故滿足條件的直線l不存在．
故答案為：不存在．
故選D．

點(diǎn)評：本題綜合考查了直線與拋物線的位置關(guān)系與△的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力和計算能力．