Question

已知拋物線C₁的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一個(gè)焦點(diǎn)F₁且垂直于C₂的兩個(gè)焦點(diǎn)所在的軸，若拋物線C₁與雙曲線C₂的一個(gè)交點(diǎn)是M(

2

3

，

2 6

3

)．
（1）求拋物線C₁的方程及其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）求雙曲線C₂的方程及其離心率e．

Answer 1

分析：（1）先出拋物線方程，然后將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可求出拋物線方程，從而求出焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)雙曲線的定義可求出a，從而求出雙曲線的方程，最后求出雙曲線的離心率．

解答：解：（1）由題意可設(shè)拋物線C₁的方程為y²=2px．               （2分）
把M(

2

3

，

2 6

3

)代入方程y²=2px，得p=2（4分）
因此，拋物線C₁的方程為y²=4x．                            （5分）
于是焦點(diǎn)F（1，0）（7分）
（2）拋物線C₁的準(zhǔn)線方程為x=-1，
所以，F(xiàn)₁（-1，0）（8分）
而雙曲線C₂的另一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），于是2a=|MF1-MF|=|

7

3

-

5

3

|=

2

3

因此，a=

1

3

（10分）
又因?yàn)閏=1，所以b2=c2-a2=

8

9

．于是，雙曲線C₂的方程 為

x2

1 9

-

y2

8 9

=1（12分）
因此，雙曲線C₂的離心率e=3．                   （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及雙曲線的離心率等有關(guān)知識(shí)，是一道綜合題．