Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若為定義域上的單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，且，證明：.

Answer 1

(1)  (2)  
(3)根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性的運(yùn)用，然后求證明不等式。

試題分析：解：（Ⅰ），   ∴
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011540227447.png" style="vertical-align:middle;" />為定義域上的單調(diào)增函數(shù)，由對恒成立，   ∴，而，所以
∴當(dāng)時(shí)，為定義域上的單調(diào)增函數(shù)
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，得
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
∴在時(shí)取得最大值，∴此時(shí)函數(shù)的最大值為
（Ⅲ） 當(dāng)時(shí)，在上遞增
令
在上總有，即在上遞增
當(dāng)時(shí)，，
即
令，,在上遞減, ∴  即，  ∵，∴，綜上成立，其中．
點(diǎn)評：主要是考查了函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)符號(hào)之間關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。