Question

已知函數(shù)（k∈R）．
（1）當x＞0時，F(xiàn)（x）=m（x），且F（x）為R上的奇函數(shù)．求x＜0時，F(xiàn)（x）的表達式；
（2）若f（x）=m（x）+n（x）為偶函數(shù)，求k的值；
（3）對（2）中的函數(shù)f（x），設(shè)，若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用x＞0時，F(xiàn)（x）=，F(xiàn)（x）為R上的奇函數(shù)，可求得x＜0時，F(xiàn)（x）的表達式；
（2）利用偶函數(shù)的定義f（-x）=f（x）即-kx=+kx，即可求得k的值；
（3）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點?方程-x=有且只有一個實根?2^x+=2^x-1-a有且只有一個實根，令t=2^x＞0，則方程t²+at+1=0有且只有一個正根，利用△=0即可求得a的值．
解答：解：（1）∵x＞0時，F(xiàn)（x）=m（x）=，
∴當x＜0時，-x＞0，
∴F（-x）=，又F（x）為R上的奇函數(shù)，
∴-F（x）=，即F（x）=-…（3分）
（2）∵函數(shù)f（x）=m（x）+n（x）=+kx為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）即-kx=+kx，…（5分）
而=-=-x，
∴-x-kx=kx恒成立，
∴2k+1=0，
∴k=-…（7分）
（3）∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，
∴方程-x=有且只有一個實根，…（8分）
化簡得：方程2^x+=2^x-1-a有且只有一個實根，…（9分）
令t=2^x＞0，則方程t²+at+1=0有且只有一個正根，
①△=0⇒a=-，
②若一個正根和一個負根，不滿足題意…（11分）
所以實數(shù)a的取值范圍為{a|a=-}…（12分）
點評：本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，同時考查了化歸與方程的思想的綜合運用，屬于難題．