Question

設,.
（Ⅰ）當時,求曲線在處的切線的方程;
（Ⅱ）如果存在,使得成立,求滿足上述條件的最大整數;
（Ⅲ）如果對任意的,都有成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：本題考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、最值等基礎知識，考查函數思想和轉化思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，將代入得到解析式，求將代入得到切線的斜率，再將代入到中得到切點的縱坐標，利用點斜式求出切線方程；第二問，先將問題轉化為，進一步轉化為求函數的最大值和最小值問題，對求導，通過畫表判斷函數的單調性和極值，求出最值代入即可；第三問，結合第二問的結論，將問題轉化為恒成立，進一步轉化為恒成立，設出新函數，求的最大值，所以即可.
試題解析：(1)當時,,,,,
所以曲線在處的切線方程為;         2分
(2)存在,使得成立等價于:,
考察,,

		遞減	極小值	遞增

由上表可知:,
,
所以滿足條件的最大整數;                       7分
(3)當時,恒成立等價于恒成立,
記，，，
記，，由于，
，所以在上遞減，
當時，，時，，
即函數在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，
所以，所以.