Question

【題目】圓周上分布著2002 個點，現將它們任意地染成白色或黑色，如果從某一點開始，依任一方向繞圓周運動到任一點，所經過的（包括該點本身）白點總數恒大于黑點總數，則稱該點為好點.為確保圓周上至少有一個好點，試求所染黑點數目的最大值.

Answer 1

【答案】667

【解析】

由題意知，好點必為白色.以下討論一般情形：即圓周上有個點，把它們黑、白染色，僅當黑點的個數時，才能保證一定有好點存在.

對用數學歸納法進行證明，

1.當時，圓周上共有4 個點，黑、白染色為一個黑點和三個白點，在三個相連的白點中取居中的一個白點，易知它為好點，故當時結論正確.

2. 設當時命題成立.那么，當時，在個黑點中任取一個黑點記為，在的兩旁分別取與相距最近的白點記為、，把這三點從這圓周上暫時拿掉，則在圓周上只剩下個點，其中有個黑點.由歸納假設，在此個點中必有一個好點，記為（白點）.然后再把三點放回到圓周上得到個點.

現證明仍為好點.

事實上，由于為白點，則點必在弧外，因而從點沿圓周上的點到達（或）內的點時（不含點），白點總數與黑點總數之差比原差還要大1，從而到達點時，白點總數與黑點總數之差必大于0，即說明仍為好點，故時， 結論成立.

另一方面，當黑點的總數為時，確有一種黑、白染色使得好點不存在：因個黑點將圓周分為個小弧段，再將剩下的個白點放入個小弧段中去，使得每個孤段上不多于2 個白點，這總是可以做到的，此種染法就不存在好點.

，

∴為確保好點存在，所染黑點的總數≤667.

綜上所述，所染黑點數目的最大值為667.