【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且

（1）求證:平面；

（2）若求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取PA的中點(diǎn)M，連接MD，ME，證明四邊形MDFE是平行四邊形，則，再由直線與平面平行的判定可得面PAD；

（2）過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，則平面ABCD，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HA所在直線為y軸，過點(diǎn)H且平行于AB的直線為z軸，PH所在直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABCD的一個(gè)法向量與的坐標(biāo)，再由兩向量所成角的余弦值可得直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.

（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接.

則，.

又，，所以，，

所以四邊形是平行四邊形，所以，

因?yàn)?/span>面，面，所以

（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

在等腰三角形中，，，

因?yàn)?/span>，所以，

解得.

則，所以，所以.

易知平面的一個(gè)法向量為，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，圓的方程為．

（1）寫出直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；

（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓與直線交于兩點(diǎn)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若過點(diǎn)的直線與曲線相切，求直線的斜率的值；

（2）設(shè)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線：與拋物線交于，兩點(diǎn).

（1）若，求直線的方程；

（2）過點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段，的中點(diǎn)分別為，，直線與軸的交點(diǎn)為，求點(diǎn)到直線與距離和的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某度假酒店為了解會(huì)員對(duì)酒店的滿意度，從中抽取50名會(huì)員進(jìn)行調(diào)查，把會(huì)員對(duì)酒店的“住宿滿意度”與“餐飲滿意度”都分為五個(gè)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：1分（很不滿意）；2分（不滿意）；3分（一般）；4分（滿意）；5分（很滿意）.其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表（住宿滿意度為，餐飲滿意度為）

（1）求“住宿滿意度”分?jǐn)?shù)的平均數(shù)；

（2）求“住宿滿意度”為3分時(shí)的5個(gè)“餐飲滿意度”人數(shù)的方差；

（3）為提高對(duì)酒店的滿意度，現(xiàn)從且的會(huì)員中隨機(jī)抽取2人征求意見，求至少有1人的“住宿滿意度”為2的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】人們通常以分貝（符號(hào)是）為單位來表示聲音強(qiáng)度的等級(jí)，30~40分貝是較理想的安靜環(huán)境，超過50分貝就會(huì)影響睡眠和休息，70分貝以上會(huì)干擾談話，長(zhǎng)期生活在90分貝以上的嗓聲環(huán)境，會(huì)嚴(yán)重影響聽力和引起神經(jīng)衰弱、頭疼、血壓升高等疾病，如果突然暴露在高達(dá)150分貝的噪聲環(huán)境中，聽覺器官會(huì)發(fā)生急劇外傷，引起鼓膜破裂出血，雙耳完全失去聽力，為了保護(hù)聽力，應(yīng)控制噪聲不超過90分貝，一般地，如果強(qiáng)度為的聲音對(duì)應(yīng)的等級(jí)為，則有，則的聲音與的聲音強(qiáng)度之比為（ ）

A.10B.100C.1000D.10000

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】垃圾分類是對(duì)垃圾進(jìn)行有效處置的一種科學(xué)管理方法，為了了解居民對(duì)垃圾分類的知曉率和參與率，引導(dǎo)居民積極行動(dòng)，科學(xué)地進(jìn)行垃圾分類，某小區(qū)隨機(jī)抽取年齡在區(qū)間[25，85]上的50人進(jìn)行調(diào)研，統(tǒng)計(jì)出年齡頻數(shù)分布及了解垃圾分類的人數(shù)如表：

（1）填寫下面2x2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為以65歲為分界點(diǎn)居民對(duì)了解垃圾分類的有關(guān)知識(shí)有差異；

（2）若對(duì)年齡在[45，55），[25，35）的被調(diào)研人中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行深入調(diào)研，記選中的4人中不了解垃圾分類的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式和數(shù)據(jù)K2，其中n＝a+b+c+d.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列：A：a1，a2，…，an，B：b1，b2，…，bn.已知ai，bj∈{0，1}（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n），定義n×n數(shù)表，其中xij.

（1）若A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，寫出X（A，B）；

（2）若A，B是不同的數(shù)列，求證：n×n數(shù)表X（A，B）滿足“xij=xji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n；ij）”的充分必要條件為“ak+bk=1（k=1，2，…，n）”；

（3）若數(shù)列A與B中的1共有n個(gè)，求證：n×n數(shù)表X（A，B）中1的個(gè)數(shù)不大于.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，一顆棋子從三棱柱的一個(gè)項(xiàng)點(diǎn)沿棱移到相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)的概率均為，剛開始時(shí)，棋子在上底面點(diǎn)處，若移了次后，棋子落在上底面頂點(diǎn)的概率記為.

（1）求，的值：

（2）求證：.

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