Question

【題目】如圖，平面PAC⊥平面ABC，點(diǎn)E、F、O分別為線段PA、PB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段CO的中點(diǎn)，AB＝BC＝AC＝4，PA＝PC＝2．求證：

（1）PA⊥平面EBO；

（2）FG∥平面EBO．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析 （2）詳見(jiàn)解析

【解析】

試題（1）證明線面垂直條件，一般利用線面垂直判斷定理給予證明，即從線線垂直證明，而條件面面垂直，可利用其性質(zhì)定理 ，轉(zhuǎn)化為線面垂直，即由平面PAC⊥平面ABC得 BO⊥面PAC．進(jìn)而得到線線垂直;（2）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理給予證明，即從線線平行出發(fā)，本題中可利用三角形重心性質(zhì)或三角形中位線性質(zhì)，因?yàn)?/span>E、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點(diǎn)，因此AF與 BE交點(diǎn)Q是△PAB的重心，得到對(duì)應(yīng)線段成比例，，從而得到線線平行．

試題解析：證明：由題意可知，△PAC為等腰直角三角形，

△ABC為等邊三角形．

（1）因?yàn)?/span>O為邊AC的中點(diǎn)，所以BO⊥AC．

因?yàn)槠矫?/span>PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，

BO平面ABC，所以BO⊥面PAC．

因?yàn)?/span>PA平面PAC，所以BO⊥PA．

在等腰三角形PAC內(nèi)，O、E為所在邊的中點(diǎn)，所以OE⊥PA．

又BO∩OE＝O，所以PA⊥平面EBO．

（2）連AF交BE于Q，連QO．

因?yàn)?/span>E、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點(diǎn)，

所以，且Q是△PAB的重心，

于是，所以FG∥QO．

因?yàn)?/span>FG平面EBO，QO平面EBO，所以FG∥平面EBO．

【注】第（2）小題亦可通過(guò)取PE中點(diǎn)H，利用平面FGH∥平面EBO證得．