Question

【題目】已知函數(shù) （a＞0且a≠1）是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若1是函數(shù)y=f（x）+x的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（﹣x）+f（x）=0，即 ，

即 ，

所以 ，

故有m2=4，所以m=±2，

當(dāng)m=﹣2時(shí)， =﹣1＜0不成立，

當(dāng)m=2時(shí)， ，經(jīng)驗(yàn)證成立，

所以m=2

（2）解：由（1）知 ，

∵1是函數(shù)y=f（x）+x的零點(diǎn)，

∴f（1）+1=0，

即 ，

即loga3=1，

解得a=3

【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)滿足f（-x）+f（x）=0列出方程解出m，并檢驗(yàn)；（2）當(dāng)x0是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)時(shí)，f（x0）=0.
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系是解答本題的根本，需要知道在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇；二次函數(shù)的零點(diǎn)：（1）△＞0，方程 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);（2）△＝0，方程 有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn);（3）△＜0，方程 無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．