【題目】己知橢圓: 上動點(diǎn)PQ,O為原點(diǎn);
(1)若,求證:為定值;
(2)點(diǎn),若,求證:直線過定點(diǎn);
(3)若,求證:直線為定圓的切線;
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)證明見解析
【解析】
(1)設(shè),由題意可知,將代入橢圓方程,求得,利用直線的斜率公式,即可求證為定值;
(2)將直線方程代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式,即可求得的值,則直線過定點(diǎn);
(3)設(shè),則方程為:,分別代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理及三角形的性質(zhì),到直線的距離為定值,即可求得直線為定圓
的切線,再驗(yàn)證中有一個(gè)斜率不存在的情況即可.
證明:(1)由題意可知:設(shè),
,
由在橢圓上,則,
代入得:
整理得:,
則
∴為定值;
(2)易知,直線的斜率存在,設(shè)其方程為,設(shè),
,消去,整理得,
則 ,
由,且直線的斜率均存在,
,整理得,
因?yàn)?/span>,
所以,
整理得,
.
解得,或(舍去).
∴直線恒過定點(diǎn);
(3)當(dāng)斜率都存在時(shí),
設(shè)方程為:,,
則方程為:,
聯(lián)立,可得:,
,
同理可得:
則到直線的距離,即為斜邊上的高,
,(定值).
當(dāng)的斜率有一個(gè)不存在時(shí),
此時(shí)直線為連接長軸和短軸端點(diǎn)的一條直線,方程為,
圓心到其距離為,
綜合得:直線為定圓的切線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】折紙與數(shù)學(xué)有著千絲萬縷的聯(lián)系,吸引了人們的廣泛興趣.因紙的長寬比稱為白銀分割比例,故紙有一個(gè)白銀矩形的美稱.現(xiàn)有一張如圖1所示的紙,.
分別為的中點(diǎn),將其按折痕折起(如圖2),使得四點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為,折得到一個(gè)如圖3所示的三棱錐.記為的中點(diǎn),在中,為邊上的高.
(1)求證:平面;
(2)若分別是棱上的動點(diǎn),且.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊,且acos C+asin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若AD為BC邊上的中線,cos B=,AD=,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣1,0).
(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求△ABM的外接圓方程;
(2)記△AMF的面積為S1,△BMF的面積為S2,當(dāng)S1=4S2時(shí),求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)Q是圓上的動點(diǎn),點(diǎn),若線段QN的垂直平分線MQ于點(diǎn)P.
(I)求動點(diǎn)P的軌跡E的方程
(II)若A是軌跡E的左頂點(diǎn),過點(diǎn)D(-3,8)的直線l與軌跡E交于B,C兩點(diǎn),求證:直線AB、AC的斜率之和為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】年,在慶祝中華人民共和國成立周年之際,又迎來了以“創(chuàng)軍人榮耀,筑世界和平”為宗旨的第七屆世界軍人運(yùn)動會.據(jù)悉,這次軍運(yùn)會將于年月日至日在美麗的江城武漢舉行,屆時(shí)將有來自全世界多個(gè)國家和地區(qū)的近萬名軍人運(yùn)動員參賽.相對于奧運(yùn)會、亞運(yùn)會等大型綜合賽事,軍運(yùn)會或許對很多人來說還很陌生.為此,武漢某高校為了在學(xué)生中更廣泛的推介普及軍運(yùn)會相關(guān)知識內(nèi)容,特在網(wǎng)絡(luò)上組織了一次“我所知曉的武漢軍運(yùn)會”知識問答比賽,為便于對答卷進(jìn)行對比研究,組委會抽取了名男生和名女生的答卷,他們的考試成績頻率分布直方圖如下:
(注:問卷滿分為分,成績的試卷為“優(yōu)秀”等級)
(1)從現(xiàn)有名男生和名女生答卷中各取一份,分別求答卷成績?yōu)椤皟?yōu)秀”等級的概率;
(2)求列聯(lián)表中,,,的值,并根據(jù)列聯(lián)表回答:能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“答卷成績?yōu)閮?yōu)秀等級與性別有關(guān)”?
男 | 女 | 總計(jì) | |
優(yōu)秀 | |||
非優(yōu)秀 | |||
總計(jì) |
(3)根據(jù)男、女生成績頻率分布直方圖,對他們的成績的優(yōu)劣進(jìn)行比較.
附:參考公式:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行,求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅲ)若在函數(shù)定義域內(nèi),總有成立,試求實(shí)數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點(diǎn),作如下定義:,那么稱點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”,同時(shí)點(diǎn)是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”.
(1)試寫出點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”坐標(biāo)和一個(gè)“下位點(diǎn)”坐標(biāo);
(2)設(shè)、、、均為正數(shù),且點(diǎn)是點(diǎn)的上位點(diǎn),請判斷點(diǎn)是否既是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”又是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”,如果是請證明,如果不是請說明理由;
(3)設(shè)正整數(shù)滿足以下條件:對任意實(shí)數(shù),總存在,使得點(diǎn)既是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”,又是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”,求正整數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列的公差,前項(xiàng)和為,且滿足,
(1)試尋找一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)非負(fù)常數(shù),使得等式對于任意的正整數(shù)恒成立,并說明你的理由;
(2)對于(1)中的等差數(shù)列和非負(fù)常數(shù),試求()的最大值.
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