已知拋物線C的頂點在原點，經(jīng)過點A（1，2），其焦點F在y軸上，直線y=kx+2交拋物線C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交拋物線C于點N．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行．
依題意，設拋物線C的方程為y=ax2，
（Ⅰ）∵點A（1，2）在拋物線C上，∴a=1．
∴拋物線C的方程為y=2x2．…（4分）
（Ⅱ）如圖，設A（x1，2x12），B（x2，2x22），
把y=kx+2代入y=2x2得：2x2-kx-2=0，
由韋達定理得：x1+x2=
k
2
，x1x2=-1，∴xN=xM=
x1+x2
2
=
k
4
，
即N點的坐標為（
k
4
，
k2
8
）．…（8分）
設拋物線在點N處的切線l的方程為y-
k2
8
=m（x-
k
4
），
將y=2x2代入上式得：2x2-mx+
mk
4
-
k2
8
=0，
∵直線l與拋物線C相切，所以△=m2-8（
mk
4
-
k2
8
）=m2-2mk+k2=（m-k）2=0，
∴m=k，即l∥AB．…（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過點C（4，0）的直線與雙曲線
x2
4
-
y2
12
=1的右支交于A、B兩點，則直線AB的斜率k的取值范圍是（　�。�
A．|k|≥1B．|k|＞
3
C．|k|≤
3
D．|k|＜1

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

直線x=ky+3與雙曲線
x2
9
-
y2
4
=1只有一個公共點，則k的值有（　�。�
A．1個B．2個C．3個D．無數(shù)多個

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

點P在直線l：y=x-1上，若存在過P的直線交拋物線y=x2于A，B兩點，且
PA
=
AB
，則稱點P為“λ點”，那么直線l上有______個“λ點”．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知拋物線x2=2py（p＞0）的焦點為F，頂點為O，準線為l，過該拋物線上異于頂點O的任意一點A作AA1⊥l于點A1，以線段AF，AA1為鄰邊作平行四邊形AFCA1，連接直線AC交l于點D，延長AF交拋物線于另一點B．若△AOB的面積為S△AOB，△ABD的面積為S△ABD，則
(S△AOB)2
S△ABD
的最大值為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，拋物線C上點M的橫坐標為2，且|MF|=3．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過焦點F作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C交于M、N和P、Q四點，求四邊形MPNQ面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，A、B為兩個頂點，已知橢圓C上的點（1，
3
2
）到F1、F2兩點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）過橢圓C的焦點F2作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點，求弦長|PQ|．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若θ是任意實數(shù)，則方程x2+4y2sinθ=1所表示的曲線一定不是（　�。�
A．圓B．雙曲線C．直線D．拋物線

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點A（-2，0），B（2，0），M（-1，0），直線PA，PB相交于點P，且它們的斜率之積為-
3
4
．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）試判斷以PB為直徑的圓與圓x2+y2=4的位置關系，并說明理由；
（3）直線PM與橢圓的另一個交點為N，求△OPN面積的最大值（O為坐標原點）．

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