Question

已知函數(shù)的導函數(shù)是，在處取得極值，且．
（Ⅰ）求的極大值和極小值；
（Ⅱ）記在閉區(qū)間上的最大值為，若對任意的總有成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）設是曲線上的任意一點．當時，求直線OM斜率的最小值，據(jù)此判斷與的大小關系，并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）的極大值為，極小值為；（Ⅱ）的取值范圍是：；（Ⅲ）直線OM斜率的最小值為4；，證明詳見解析．

解析試題分析：（Ⅰ）由已知，首先利用求出，再由得，從而得，其導函數(shù)，利用求函數(shù)極值的一般方法及一般步驟列表即可求得函數(shù)的極大值和極小值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的基礎上，分，兩種情形討論．①當時，由（I）知在上遞增，所以的最大值，問題轉化為；②當時，的最大值，由對任意的恒成立，等價于，進而可求得的取值范圍；（Ⅲ）由已知易得直線斜率，由于，易得直線斜率的最小值為4．當時，有，故，可以構造函數(shù)，利用導數(shù)證明在恒成立，從而證得．
試題解析：（I）依題意，，解得，                    1分
由已知可設，因為，所以，則，導函數(shù)．                                 3分
列表：

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