【題目】設函數(shù)y=f(x)的定義域為R,并且滿足f(x+y)=f(x)+f(y), ,且當x>0時,f(x)>0.
(1)求f(0)的值;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性;
(3)如果f(x)+f(2+x)<2,求x取值范圍.

【答案】
(1)解:∵函數(shù)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),

∴令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0.

∴f(0)=0


(2)解:∵y=f(x)的定義域為R,

f(x+y)=f(x)+f(y),f(0)=0,

∴y=﹣x,得f(﹣x)+f(x)=f(0)=0,

∴f(x)是奇函數(shù)


(3)解:∵f(x+y)=f(x)+f(y), ,且當x>0時,f(x)>0.

f(x1)=f(x2)+f(x1﹣x2),令x1>x2,則f(x1)>f(x2),所以函數(shù)單調遞增,

∵f(x)+f(2+x)<2,

∴x取值范圍是(﹣∞,﹣


【解析】(1)由函數(shù)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=0,能求出f(0).(2)由y=f(x)的定義域為R,f(x+y)=f(x)+f(y),f(0)=0,令y=﹣x,能推導出f(x)是奇函數(shù).(3)利用單調性的定義,結合足f(x+y)=f(x)+f(y),可得函數(shù)的單調性,進而將抽象不等式轉化為具體不等式,即可求解.
【考點精析】利用奇偶性與單調性的綜合對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調性;偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調性.

練習冊系列答案
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