Question

已知定義在（-∞，-1）∪（1，+∞）上的奇函數(shù)滿足：①f（3）=1；②對(duì)任意的x＞2均有f（x）＞0；③對(duì)任意的x＞0，y＞0，均有f（x+1）+f（y+1）=f（xy+1）．
（1）求f（2）的值．
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（cos²θ+asinθ）＜3對(duì)任意的θ∈（0，π）恒成立？若存在，求出a的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y都有均有f（x+1）+f（y+1）=f（xy+1），令x=1，y=1，即可求出f（2）的值；
（2）令x=2，y=2，代入求得f（5），令x=2，y=4，代入求得f（9），又f(8+1)+f(

1

8

+1)=f(8

1

8

+1)=0，可得f(-

9

8

)=3，根據(jù)條件②判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)已知條件把f（cos²θ+asinθ）＜3化為cos2θ+asinθ＜-

9

8

或1＜cos²θ+asinθ＜9，對(duì)任意的θ∈（0，π）恒成立，換元和分離參數(shù)即可求得a的范圍．

解答：解：（1）令x=y=1，得f（2）=0；
（2）先證明f（x）在（1，+∞）是增函數(shù)．
任取x₁＞1，x₂＞1，且x₂＞x₁
則有f(x1)+f(

x2-1

x1-1

+1)=f(x1-1+1)+f(

x2-1

x1-1

+1)=f((x1-1)

x2-1

x1-1

+1)=f（x₂）．
而

x2-1

x1-1

+1＞1+1=2
所以f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在（1，+∞）是增函數(shù)．
又因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)．
令x=y=2  有f（5）=2；
令x=2，y=4  有f（9）=3．
又f(8+1)+f(

1

8

+1)=f(8

1

8

+1)=0，
∴f(-

9

8

)=3．
則f（x）＜3的解集為(-∞，-

9

8

)∪(1，9)，
于是問(wèn)題等價(jià)于是否存在實(shí)數(shù)a，使cos2θ+asinθ＜-

9

8

或1＜cos²θ+asinθ＜9對(duì)任意的θ∈（0，π）恒成立，
令t=sinθ，則t∈（0，1]
對(duì)于cos2θ+asinθ＜-

9

8

恒成立化為t2-at-

17

8

＞0，在t∈（0，1]上恒成立．
即a＜t-

17

8t

在t∈（0，1]上恒成立．
而t→0時(shí)，t-

17

8t

→-∞，故不存在存在實(shí)數(shù)a，使cos2θ+asinθ＜-

9

8

恒成立．
1＜cos²θ+asinθ＜9對(duì)任意的θ∈（0，π）恒成立等價(jià)于

t2-at+8＞0 t2-at＜0

在t∈（0，1]上恒成立．
t²-at+8＞0，t∈（0，1]?a＜t+

8

t

，
易得a＜9．而t²-at＜0知a＞t所以a＞1．
綜合以上有當(dāng)1＜a＜9使得f（cos²θ+asinθ）＜3對(duì)任意的θ∈（0，π）恒成立

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題，考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中一定注意函數(shù)的定義域．解決抽象函數(shù)的問(wèn)題一般應(yīng)用賦值法．特別是問(wèn)題（2）的設(shè)問(wèn)形式，增加了題目的難度，綜合性強(qiáng)．