Question

設(shè)點(diǎn)P是拋物線C：x²=2py（p＞0）在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過P作拋物線C的切線l交x軸于點(diǎn)M，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足

PM

=

1

2

PF

+

1

2

PQ

，若△PFQ是面積為

3

的等邊三角形，則p的值為

1

．

Answer 1

分析：由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過點(diǎn)P的切線的斜率，由點(diǎn)斜式寫出切線方程，取y=0得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)給出的向量式得到M為FQ的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到Q點(diǎn)的坐標(biāo)，再由△PFQ是面積為

3

的等邊三角形列式計(jì)算p的值．

解答：解：因?yàn)閽佄锞�C：x²=2py，所以焦點(diǎn)F（0，

p

2

）；
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（n，

n2

2p

），
由x²=2py，得y=

x2

2p

，
則y′|x=n=

n

p

．
直線PM方程為：y-

n2

2p

=

p

n

(x-n)，取y=0得與x軸交點(diǎn)M（

n

2

，0）；
由

PM

=

1

2

PF

+

1

2

PQ

，則M為FQ連線的中點(diǎn)．
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得Q（n，-

p

2

）；
因?yàn)椤鱌FQ是等邊三角形，故有PQ²=PF²=FQ²．
由于S_△PFQ=

3

2

•

PF2

2

=

3

4

PF2=

3

，∴PF=PQ=FQ=2．
PQ2=(

n2

2p

+

p

2

)2=

(n2+p2)2

2p2

=4，所以n²+p²=4p．
FQ²=n²+p²=2²=4，與上式對(duì)比可知，p=1．
故答案為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求過拋物線上點(diǎn)P的切線方程是解答該題的關(guān)鍵，考查了學(xué)生的計(jì)算能力．是中檔題．