Question

已知P（2，0），對(duì)于拋物線y²=mx上任何一點(diǎn)Q，|PQ|≥2，則m的取值范圍是

1. A.
   （0，4]
2. B.
   （-∞，0）∪（0，4]
3. C.
   [4，+∞）
4. D.
   （-∞，0）∪[4，+∞）

Answer 1

D
分析：由題意可得：只需|PQ|_min≥2即可．再分當(dāng)m＜0時(shí)與當(dāng)m＞0時(shí)進(jìn)行討論，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得當(dāng)m＜0時(shí)恒有|PQ|≥2成立，當(dāng)m＞0時(shí)，設(shè)Q（ ，t），由|PQ|≥2得t²-4m+m²≥0恒成立，即t²≥4m-m²恒成立，則有4m-m²≤0，進(jìn)而得到答案．
解答：因?yàn)閷?duì)于拋物線y²=mx上任何一點(diǎn)Q，|PQ|≥2，
所以只需|PQ|_min≥2即可．
當(dāng)m＜0時(shí)，拋物線y²=mx的開(kāi)口方向向左，
所以此時(shí)|PQ|_min=|OP|=2，
所以m＜0時(shí)，對(duì)于拋物線y²=mx上任何一點(diǎn)Q，恒有|PQ|≥2成立．
當(dāng)m＞0時(shí)，拋物線y²=mx的開(kāi)口方向向右，
設(shè)Q（ ，t），由|PQ|≥2得（ -2）²+t²≥4恒成立，整理可得：t²（t²-4m+m²）≥0恒成立，
即有t²-4m+m²≥0恒成立，
所以t²≥4m-m²恒成立，則有4m-m²≤0，解得：m≥4．
由以上可得：m的取值范圍是 （-∞，0）或者[4，+∞）．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：解決成立問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，以及熟練掌握恒成立問(wèn)題，本題主要考查分類討論的數(shù)學(xué)思想與恒成立問(wèn)題，此題屬于難題，是高考的考點(diǎn)．