若數(shù)列{an}對(duì)于任意的正整數(shù)n滿足：an＞0且anan+1=n+1，則稱數(shù)列{an}為“積增數(shù)列”．已知“積增數(shù)列”{an}中，a1=1，數(shù)列{an2+an+12}的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)于任意的正整數(shù)n，有（ ）
A．Sn≤2n2+3
B．Sn≥n2+4n
C．Sn≤n2+4n
D．Sn≥n2+3n
【答案】分析：利用基本不等式判斷出an2+an+12≥2anan+1，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求出數(shù)列{anan+1}的前n項(xiàng)和；據(jù)項(xiàng)大和就大，判斷出數(shù)列{an2+an+12}的前n項(xiàng)和的范圍．
解答：解：∵an＞0
∴an2+an+12≥2anan+1
∵anan+1=n+1
∴{anan+1}的前n項(xiàng)和為2+3+4+…+n+1=
∴數(shù)列{an2+an+12}的前n項(xiàng)和為
故選D
點(diǎn)評(píng)：利用基本不等式的性質(zhì)時(shí)，一定要注意使用的條件：兩個(gè)變量必須是正的．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知有窮數(shù)列A：a1，a2，…，an，（n≥2）．若數(shù)列A中各項(xiàng)都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，則稱該數(shù)列為數(shù)列．對(duì)于數(shù)列A，定義如下操作過程T：從A中任取兩項(xiàng)ai，aj，將
ai+aj
1+aiaj
的值添在A的最后，然后刪除ai，aj，這樣得到一個(gè)n-1項(xiàng)的新數(shù)列A1（約定：一個(gè)數(shù)也視作數(shù)列）．若A1還是數(shù)列，可繼續(xù)實(shí)施操作過程T，得到的新數(shù)列記作A2，…，如此經(jīng)過k次操作后得到的新數(shù)列記作Ak．
（Ⅰ）設(shè)A：0，
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2
，
1
3
…請(qǐng)寫出A1的所有可能的結(jié)果；
（Ⅱ）求證：對(duì)于一個(gè)n項(xiàng)的數(shù)列A操作T總可以進(jìn)行n-1次；
（Ⅲ）設(shè)A：-
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，-
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，-
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，-
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，
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，
1
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，
1
6
…求A9的可能結(jié)果，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)平面xOy上的一列點(diǎn)A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），…，簡(jiǎn)記為{An}．若由bn=
AnAn+1
•
j
構(gòu)成的數(shù)列{bn}滿足bn+1＜bn，n=1，2，…，其中
j
為方向與y軸正方向相同的單位向量，則稱{An}為T點(diǎn)列．
（1）判斷A1（1，-1），A2(2，-
1
2
)，A3(3，-
1
4
)，…，An(n，-
1
2n-1
)，…，是否為T點(diǎn)列，并說明理由；
（2）若{An}為T點(diǎn)列，且點(diǎn)A2在點(diǎn)A1的右下方，證明任取其中連續(xù)三點(diǎn)Ak、Ak+1、Ak+2，一定能構(gòu)成鈍角三角形；
（3）若{An}為T點(diǎn)列，且對(duì)于任意n∈N*，都有bn＞0，那么數(shù)列{an}是否一定存在極限？若是，請(qǐng)說明理由；若不是，請(qǐng)舉例說明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•徐匯區(qū)一模）對(duì)于數(shù)列{xn}，從中選取若干項(xiàng)，不改變它們?cè)谠瓉頂?shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．某同學(xué)在學(xué)習(xí)了這一個(gè)概念之后，打算研究首項(xiàng)為a1，公差為d的無窮等差數(shù)列{an}的子數(shù)列問題，為此，他取了其中第一項(xiàng)a1，第三項(xiàng)a3和第五項(xiàng)a5．
（1）若a1，a3，a5成等比數(shù)列，求d的值；
（2）在a1=1，d=3 的無窮等差數(shù)列{an}中，是否存在無窮子數(shù)列{bn}，使得數(shù)列（bn）為等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)給出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式并證明；若不存在，說明理由；
（3）他在研究過程中猜想了一個(gè)命題：“對(duì)于首項(xiàng)為正整數(shù)a，公比為正整數(shù)q（q＞1）的無窮等比數(shù)列{cn}，總可以找到一個(gè)子數(shù)列{bn}，使得{dn}構(gòu)成等差數(shù)列”．于是，他在數(shù)列{cn}中任取三項(xiàng)ck，cm，cn（k＜m＜n），由ck+cn與2cm的大小關(guān)系去判斷該命題是否正確．他將得到什么結(jié)論？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•徐匯區(qū)一模）對(duì)于數(shù)列{xn}，從中選取若干項(xiàng)，不改變它們?cè)谠瓉頂?shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．某同學(xué)在學(xué)習(xí)了這一個(gè)概念之后，打算研究首項(xiàng)為正整數(shù)a，公比為正整數(shù)q（q＞0）的無窮等比數(shù)列{an}的子數(shù)列問題．為此，他任取了其中三項(xiàng)ak，am，an（k＜m＜n）．
（1）若ak，am，an（k＜m＜n）成等比數(shù)列，求k，m，n之間滿足的等量關(guān)系；
（2）他猜想：“在上述數(shù)列{an}中存在一個(gè)子數(shù)列{bn}是等差數(shù)列”，為此，他研究了ak+an與2am的大小關(guān)系，請(qǐng)你根據(jù)該同學(xué)的研究結(jié)果來判斷上述猜想是否正確；
（3）他又想：在首項(xiàng)為正整數(shù)a，公差為正整數(shù)d的無窮等差數(shù)列中是否存在成等比數(shù)列的子數(shù)列？請(qǐng)你就此問題寫出一個(gè)正確命題，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：北京模擬題 題型：解答題

已知有窮數(shù)列A：a1，a2，…，an，(n≥2)，若數(shù)列A中各項(xiàng)都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，則稱該數(shù)列為Γ數(shù)列。對(duì)于Γ數(shù)列A，定義如下操作過程T：從A中任取兩項(xiàng)ai，aj，將的值添在A的最后，然后刪除ai，aj，這樣得到一個(gè)n-1項(xiàng)的新數(shù)列A1(約定：一個(gè)數(shù)也視作數(shù)列)。若A1還是Γ數(shù)列，可繼續(xù)實(shí)施操作過程T，得到的新數(shù)列記作A2，…，如此經(jīng)過k次操作后得到的新數(shù)列記作Ak，
（Ⅰ）設(shè)A：0，，請(qǐng)寫出A1的所有可能的結(jié)果；
（Ⅱ）求證：對(duì)于一個(gè)n項(xiàng)的Γ數(shù)列A操作T總可以進(jìn)行n-1次；
（Ⅲ）設(shè)A：，求A9的可能結(jié)果，并說明理由.

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