Question

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在x₀∈D，使得y₀=f(x₀)=x₀，則稱以(x₀,y₀)為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)圖象上的不動(dòng)點(diǎn).

(1)若函數(shù)f(x)=的圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動(dòng)點(diǎn)，求a、b滿足的條件;

(2)在(1)的條件下，若a=8，記函數(shù)f(x)圖象上的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)分別為A、A′，P為函數(shù)f(x)的圖象上的另一點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)y_P＞3，求點(diǎn)P到直線AA′距離的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)命題“若定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)”是否正確？若正確，試給予證明，并舉出一例；若不正確，試舉一反例說明.

Answer 1

解：(1)若點(diǎn)(x₀,y₀)是不動(dòng)點(diǎn)，則有f(x₀)==x₀，整理得x₀²+(b-3)x₀-a=0.

    由題意知方程有兩個(gè)根，且這兩個(gè)根絕對值相等，符號相反.

    由韋達(dá)定理，得∴b=3,a＞0.

    于是f(x)=3+，由題設(shè)知a≠9，故a、b應(yīng)滿足b=3,a＞0且a≠9.

(2)在(1)的條件下，當(dāng)a=8時(shí)，f(x)=.

    由=x，得到兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為A(,)、A′(-,-).

    設(shè)點(diǎn)P(x,y)，且y_P＞3,即＞3,

    解得x＜-3.

    直線AA′的方程為y=x，設(shè)點(diǎn)P到直線AA′的距離為d,則

d==|x-|=()=［(-x-3)+］≥(2+6)=4.

    當(dāng)且僅當(dāng)(-x-3)=，即x=-4時(shí)d取到最小值，此時(shí)x=-4,y=4,點(diǎn)P坐標(biāo)為(-4,4).

(3)命題正確.

    由f(x)為奇函數(shù)，得f(-x)=-f(x)，取x=0，得f(0)=0,(0,0)為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

    設(shè)函數(shù)f(x)除0以外還有不動(dòng)點(diǎn)(x,x)(x≠0),則f(x)=x.又f(-x)=-f(x)=-x,故(-x,-x)也為函數(shù)不動(dòng)點(diǎn).

    綜上，若定義在R上的奇函數(shù)f(x)圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè).