Question

【題目】設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意a、b∈R，當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有 ．
（1）若a＞b，試比較f（a）與f（b）的大小關(guān)系；
（2）若f（9x﹣23x）+f（29x﹣k）＞0對任意x∈[0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵對任意a，b，當(dāng)a+b≠0，都有 ．

∴ ，

∵a＞b，∴a﹣b＞0，

∴f（a）+f（﹣b）＞0，

∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，

∴f（﹣b）=﹣f（b），

∴f（a）﹣f（b）＞0，

∴f（a）＞f（b）

（2）解：由（1）知f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，

又f（9x﹣23x）+f（29x﹣k）＞0，得f（9x﹣23x）＞﹣f（29x﹣k）=f（k﹣29x），

故9x﹣23x＞k﹣29x，即k＜39x﹣23x，

令t=3x，則t≥1，

所以k＜3t2﹣2t，而3t2﹣2t=3 ﹣ 在[1，+∞）上遞增，所以3t2﹣2t≥3﹣2=1，

所以k＜1，即所求實(shí)數(shù)k的范圍為k＜1

【解析】（1）由a＞b，得 ，所以f（a）+f（﹣b）＞0，由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，能得到f（a）＞f（b）．（2）由f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，利用奇偶性、單調(diào)性可把f（9x﹣23x）+f（29x﹣k）＞0中的符號“f”去掉，分離出參數(shù)k后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值即可解決．
【考點(diǎn)精析】利用奇偶性與單調(diào)性的綜合對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．