【題目】如圖所示,在四棱臺ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2.
(1)若M為CD中點,求證:AM⊥平面AA1B1B;
(2)求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)推導(dǎo)出AM⊥CD,由CD∥AB得,AM⊥AB,又AM⊥AA1,由此能證明AM⊥平面AA1B1B
(2)分別以AB,AM,AA1為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz,利用向量法能求出直線DD1與平面A1BD所成角θ的正弦值.
試題解析:
(1)證明:連接AC,
∵四邊形ABCD為菱形,
∠BAD=120°,
∴△ACD為等邊三角形,
又M為CD中點,
∴AM⊥CD,由CD∥AB得,
AM⊥AB.
∵AA1⊥底面ABCD,AM平面ABCD,∴AM⊥AA1.
又AB∩AA1=A,
∴AM⊥平面AA1B1B.
(2)∵四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2,
∴DM=1,AM=,
∴∠AMD=∠BAM=90°,
又AA1⊥底面ABCD,
∴以A為坐標(biāo)原點,AB,AM,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Axyz,
則A1(0,0,2),B(2,0,0),D(-1,,0),D1,
∴=,=(-3,,0),=(2,0,-2).
設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),
則即
令x=1,則n=(1,,1),
∴|cos〈n,〉|===.
∴/span>直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】上周某校高三年級學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測試,年級組織任課教師對這次考試進行成績分析現(xiàn)從中隨機選取了40名學(xué)生的成績作為樣本,已知這40名學(xué)生的成績?nèi)吭?/span>40分至100分之間,現(xiàn)將成績按如下方式分成6組:第一組;第二組;……;第六組,并據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計這次月考數(shù)學(xué)成績的平均分和眾數(shù);
(2)從成績大于等于80分的學(xué)生中隨機選2名,求至少有1名學(xué)生的成績在區(qū)間內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“冰桶挑戰(zhàn)賽”是一項社交網(wǎng)絡(luò)上發(fā)起的慈善公益活動,活動規(guī)定:被邀請者要么在小時內(nèi)接受挑戰(zhàn),要么選擇為慈善機構(gòu)捐款(不接受挑戰(zhàn)),并且不能重復(fù)參加該活動.若被邀請者接受挑戰(zhàn),則他需在網(wǎng)絡(luò)上發(fā)布自己被冰水澆遍全身的視頻內(nèi)容,然后便可以邀請另外個人參與這項活動.假設(shè)每個人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的,且互不影響.
(1)若某參與者接受挑戰(zhàn)后,對其他個人發(fā)出邀請,則這個人中至少有個人接受挑戰(zhàn)的概率是多少?
(2)為了解冰桶挑戰(zhàn)賽與受邀者的性別是否有關(guān),某調(diào)查機構(gòu)進行了隨機抽樣調(diào)查,調(diào)查得到如下列聯(lián)表:
根據(jù)表中數(shù)據(jù),能否有%的把握認為“冰桶挑戰(zhàn)賽與受邀者的性別有關(guān)”?
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}中,點(an,an+1)在直線y=x+2上,且首項a1=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}中,b1=a1,b2=a2,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,請寫出適合條件Tn≤Sn的所有n的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線,.
(1)求直線和直線交點P的坐標(biāo);
(2)若直線l經(jīng)過點P且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù),求直線l的一般式方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在各棱長均為2的三棱柱中,側(cè)面底面ABC,.
(1)求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大;
(2)已知點D滿足,在直線上是否存在點P,使DP∥平面?若存在,請確定點P的位置,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,E為PC的中點,且∠PAB=∠PDC=90°.
(Ⅰ)證明:BE∥平面PAD;
(Ⅱ)證明:平面PAB⊥平面PAD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖的折線圖為某小區(qū)小型超市今年一月份到五月份的營業(yè)額和支出數(shù)據(jù)(利潤=營業(yè)額-支出),根據(jù)折線圖,下列說法中正確的是( )
A.該超市這五個月中,利潤隨營業(yè)額的增長在增長
B.該超市這五個月中,利潤基本保持不變
C.該超市這五個月中,三月份的利潤最高
D.該超市這五個月中的營業(yè)額和支出呈正相關(guān)
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