【題目】已知拋物線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)H(1,t)到焦點(diǎn)F的距離為2.
(1)若,過點(diǎn)M,H的直線與該拋物線相交于另一點(diǎn)N,求的值;
(2)設(shè)A、B是拋物線E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
①求證:直線AB必過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)Q的坐標(biāo);
②過點(diǎn)Q作AB的垂線與該拋物線交于G、D兩點(diǎn),求四邊形AGBD面積的最小值.
【答案】(1) (2) ①見證明; ②最小值88
【解析】
(1)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的定義,求得的值,進(jìn)而求得拋物線的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo),由此求得直線的方程,聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程,求得點(diǎn)的橫坐標(biāo),利用拋物線的定義求得的值.(2)①設(shè)出直線的方程,與拋物線方程聯(lián)立,寫出韋達(dá)定理,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,化簡,由此證得直線過定點(diǎn). ②利用①的結(jié)論求得,由此求得四邊形面積的表達(dá)式,換元后利用二次函數(shù)的單調(diào)性來求得四邊形面積的最小值.
解:(1)∵點(diǎn),∴,解得,
故拋物線E的方程為:,
所以當(dāng)時(shí),
∴直線的方程為,聯(lián)立可得,,
.
(2)①證明:設(shè)直線,,
聯(lián)立拋物線方程可得,
,
由得:,解得或(舍去),
即,所以直線過定點(diǎn);
②由①得
同理得,.
則四邊形面積
.
令,則是關(guān)于的增函數(shù),
故當(dāng)時(shí),.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值88.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M,若.則該雙曲線的離心率為
A. 2B. 3C. D.
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【題目】已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)若不過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),與直線相交于點(diǎn),且是線段的中點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為征求個(gè)人所得稅法修改建議,某機(jī)構(gòu)對(duì)當(dāng)?shù)鼐用竦脑率杖胝{(diào)查了10000人,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖(每個(gè)分組包括左端點(diǎn),不包括右端點(diǎn),如第一組表示收入在[1000,1500)).
(1)求居民月收入在的頻率;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估算樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù);
(3)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系,必須按月收入再從這10000人中用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步分析,則月收入在的這段應(yīng)抽多少人?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】邗江中學(xué)高二年級(jí)某班某小組共10人,利用寒假參加義工活動(dòng),已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中選出2人作為該組代表參加座談會(huì).
(1)記“選出2人參加義工活動(dòng)的次數(shù)之和為4”為事件,求事件發(fā)生的概率;
(2)設(shè)為選出2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)P(0,1)且互相垂直的兩條直線分別與圓O:交于點(diǎn)A,B,與圓M:(x﹣2)2+(y﹣1)2=1交于點(diǎn)C,D.
(1)若AB=,求CD的長;
(2)若CD中點(diǎn)為E,求△ABE面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;
求函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,內(nèi)接于圓的正方形邊長為1,圓內(nèi)切于正方形,正方形內(nèi)接于圓,···,正方形內(nèi)接于圓,圓內(nèi)切于正方形,正方形內(nèi)接于圓,由此無窮個(gè)步驟進(jìn)行下去記圓的面積記作,記正方形的面積記作.
(1)求的值
(2)記的所有項(xiàng)和為,的所有項(xiàng)和為,求的值.
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