Question

（1）是否存在正整數(shù)的無窮數(shù)列{a_n}，使得對任意的正整數(shù)n都有a_n+1²≥2a_na_n+2．
（2）是否存在正無理數(shù)的無窮數(shù)列{a_n}，使得對任意的正整數(shù)n都有a_n+1²≥2a_na_n+2．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足條件，即a_n+1²≥2a_na_n+2，a_n＞0，整式化為分式，得到

an

an-1

≤

1

2

•

an-1

an-2

≤

1

22

•

an-2

an-3

≤…≤

1

2n-2

•

a2

a1

，n=3，4…，即

an

an-1

≤

1

2n-2

•

a2

a1

，進一步論證即可說明不存在；
（2）舉例說明即可，如an=

π

2(n-1)(n-2)

，代入a_n+1²≥2a_na_n+2進行驗證即可．

解答：解：（1）假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足條件．
∵a_n+1²≥2a_na_n+2，a_n＞0，∴

an

an-1

≤

1

2

•

an-1

an-2

≤

1

22

•

an-2

an-3

≤…≤

1

2n-2

•

a2

a1

，n=3，4，…
又

a2

a1

≤

1

22-2

•

a2

a1

，所以有

an

an-1

≤

1

2n-2

•

a2

a1

對n=2，3，4，成立．
∴an≤(

1

2n-2

•

a2

a1

)an-1≤

1

2(n-2)+(n-3)

•(

a2

a1

)2•an-2≤

1

2(n-2)+(n-3)+…+1

•(

a2

a1

)n-2•a2
所以an≤(

a 2 2

2n-2

)

n-1

2

•

1

a n-2 1

．
設(shè)a₂²∈[2^k，2^k+1），k∈N，取N=k+3，則有aN≤(

a 2 2

2N-2

)

N-1

2

•

1

a N-2 1

＜(

2k+1

2k+1

)

k+2

2

•

1

a k+1 1

≤1，
這與a_N是正整數(shù)矛盾．
所以不存在正整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足條件．
（2）an=

π

2(n-1)(n-2)

就是滿足條件的一個無理數(shù)數(shù)列．此時有a_n+1²=4a_na_n+2≥2a_na_n+2．

點評：此題是個中檔題．考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析、解決問題的能力，特別是問題（1）的設(shè)問形式，增加了題目的難度，對學(xué)生的邏輯思維要求特別高，靈活性強．