Question

（2011•重慶二模）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn，

a

=(Sn，1)，

b

=(-1，2an+2n)，

a

⊥

b

．
（Ⅰ）證明數(shù)列{

an

2n-1

}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=

(n-2011)an

n+1

，是否存在正整數(shù)n₀，使得對(duì)于任意的k∈N^*，都有不等式b_k≤b_n成立？若存在，求出n₀的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）設(shè)T_n=|S₁|-|S₂|+…+|S_n|，求證：

T0+Sn

2

＞

2-n

1+n

an．

Answer 1

分析：（I）利用向量的數(shù)量積公式，可得-Sn+2an+2n=0，再寫(xiě)一式，兩式相減，即可證明數(shù)列{

an

2n-1

}為等差數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）對(duì)于任意的k∈N^*，都有不等式b_k≤b_n成立，等價(jià)于

bn≥bn-1 bn≥bn+1

，從而可得不等式組，即可確定存在正整數(shù)n₀；
（III）利用錯(cuò)位相減法，求T_n，代入計(jì)算，即可證得結(jié)論．

解答：（I）證明：∵

a

=(Sn，1)，

b

=(-1，2an+2n)，

a

⊥

b

，
∴-Sn+2an+2n=0
∴-Sn+1+2an+1+2n+1=0
兩式相減，整理可得an+1=2an-2n
∴

an+1

2n

=

an

2n-1

-1
∴數(shù)列{

an

2n-1

}為公差為-1的等差數(shù)列
∵a₁=-2
∴

an

2n-1

=-（n+1）
∴an=-(n+1)•2n-1；
（Ⅱ）解：bn=

(n-2011)an

n+1

=（2011-n）•2^n-1
∵對(duì)于任意的k∈N^*，都有不等式b_k≤b_n成立
∴

bn≥bn-1 bn≥bn+1

∴

(2011-n)•2n-1≥(2012-n)•2n-2 (2011-n)•2n-1≥(2010-n)•2n

∴2009≤n≤2010
∴b_n的最大值為b₂₀₁₀=b₂₀₀₉
∴n₀=2010或n₀=2009；
（III）證明：由（I）得，Sn=-n•2n，∴|Sn|=n•2n
∴T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ
∴2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=-（n-1）•2ⁿ⁺¹-2
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2
∴

Tn+Sn

2

=

(n-1)•2n+1+2-n•2n

2

=（n-2）•2^n-1+1
∵

2-n

1+n

an=（n-2）•2^n-1
∴

Tn+Sn

2

＞

2-n

1+n

an

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)列與不等式的聯(lián)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．