Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為2+

3

，最小值為2-

3

．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l過(guò)點(diǎn)Q(

1

2

，

1

2

)，與橢圓交于點(diǎn)M，N，且點(diǎn)Q為線段MN的中點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為2+

3

，最小值為2-

3

，可得

a+c=2+ 3 a-c=2- 3

，從而可求橢圓方程；
（2）利用點(diǎn)差法．設(shè)點(diǎn)代入橢圓方程，作差，利用Q(

1

2

，

1

2

)為線段MN的中點(diǎn)，可求直線l的斜率，進(jìn)而可求直線l的方程．

解答：解：（1）∵橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為2+

3

，最小值為2-

3

．
∴

a+c=2+ 3 a-c=2- 3

∴a=2，c=

3

∵b²=a²-c²
∴b=1
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則

x 2 1 a2 + y 2 1 b2 =1 x 2 2 a2 + y 2 2 b2 =1

兩式相減可得

(x1 +x2)(x1-x2)

a2

+

(y1 +y2)(y1-y2)

b2

=0
∵Q(

1

2

，

1

2

)為線段MN的中點(diǎn)
∴

x1-x2

a2

+

y1-y2

b2

=0
∴

y1-y2

x1 -x2

=-

b2

a2

=-

1

4

∵直線l過(guò)點(diǎn)Q(

1

2

，

1

2

)，
∴直線l方程為：y-

1

2

=-

1

4

(x-

1

2

)
即2x+8y-5=0
由于點(diǎn)Q在橢圓內(nèi)，故方程滿足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查弦中點(diǎn)問(wèn)題，利用點(diǎn)差法設(shè)而不求是關(guān)鍵．