【題目】已知橢圓與y軸的正半軸相交于點M,且橢圓E上相異兩點A、B滿足直線MA,MB的斜率之積為

(Ⅰ)證明直線AB恒過定點,并求定點的坐標(biāo);

(Ⅱ)求三角形ABM的面積的最大值.

【答案】(1)直線恒過定點.(2)

【解析】試題分析:利用設(shè)而不求思想設(shè)出點的坐標(biāo),首先考慮 直線斜率不存在的情況,然后研究直線斜率存在的一般情況,設(shè)出直線斜截式方程與橢圓方程聯(lián)立方程組,代入整理后寫出根與系數(shù)關(guān)系,根據(jù)MA、MB的斜率之積為,代入,解出,得出直線過定點,第二步聯(lián)立方程組后利用判別式大于零,求出k的范圍,表示三角形的面積,利用基本不等式求出最值 .

試題解析:

解:(Ⅰ)由橢圓的方程得,上頂點,記 由題意知, ,若直線的斜率不存在,則直線的方程為,故,且,因此,與已知不符,因此直線的斜率存在,設(shè)直線 ,代入橢圓的方程得: ………①

因為直線與曲線有公共點,所以方程①有兩個非零不等實根,

所以,

,

,得

所以

化簡得: ,故

結(jié)合,

即直線恒過定點

(Ⅱ)由得: ,

,當(dāng)且僅當(dāng),即 時, 的面積最大,最大值為

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面四邊形ABCD中,△BCD是正三角形,AB=AD=1,∠BAD=θ.
(Ⅰ)將四邊形ABCD的面積S表示成關(guān)于θ的函數(shù);
(Ⅱ)求S的最大值及此時θ的值.

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【題目】猜商品的價格游戲, 觀眾甲: 主持人:高了! 觀眾甲: 主持人:低了! 觀眾甲: 主持人:高了! 觀眾甲: 主持人:低了! 觀眾甲: 主持人:低了! 則此商品價格所在的區(qū)間是

A. B.

C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù)的定義域為,對給定的正數(shù),若存在閉區(qū)間,使得函數(shù)滿足:①內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②上的值域為,則稱區(qū)間級“理想?yún)^(qū)間”.下列結(jié)論錯誤的是( )

A. 函數(shù))存在1級“理想?yún)^(qū)間”

B. 函數(shù))不存在2級“理想?yún)^(qū)間”

C. 函數(shù))存在3級“理想?yún)^(qū)間”

D. 函數(shù), 不存在4級“理想?yún)^(qū)間”

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

以直角坐標(biāo)系的原點為極點, 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,且兩坐標(biāo)系有相同的長度單位.已知點的極坐標(biāo)為, 是曲線 上任意一點,點滿足,設(shè)點的軌跡為曲線.

(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)若過點的直線的參數(shù)方程為參數(shù)),且直線與曲線交于, 兩點,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】本小題滿分12分,1小問7分,2小問5分

設(shè)函數(shù)

1處取得極值,確定的值,并求此時曲線在點處的切線方程;

2上為減函數(shù),求的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線的極坐標(biāo)方程為),圓的參數(shù)方程為: (其中為參數(shù)).

(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系;

(2)若橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)),過圓的圓心且與直線垂直的直線與橢圓相交于兩點,求.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示:湖面上甲、乙、丙三艘船沿著同一條直線航行,某一時刻,甲船在最前面的點處,乙船在中間點處,丙船在最后面的點處,且.一架無人機在空中的點處對它們進行數(shù)據(jù)測量,在同一時刻測得, .(船只與無人機的大小及其它因素忽略不計)

(1)求此時無人機到甲、丙兩船的距離之比;

(2)若此時甲、乙兩船相距100米,求無人機到丙船的距離.(精確到1米)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知是直線上任意一點,過,線段的垂直平分線交于點.

(Ⅰ)求點的軌跡對應(yīng)的方程;

(Ⅱ)過點的直線與點的軌跡相交于兩點,( 點在軸上方),點關(guān)于軸的對稱點為,且,求的外接圓的方程.

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