已知橢圓：的右焦點在圓上，直線交橢圓于、兩點.
(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 若OM⊥ON(為坐標原點)，求的值；
(Ⅲ) 設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為（與不重合），且直線與軸交于點，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

（1）
（2）
(3) 的面積存在最大值

解析試題分析：解(Ⅰ) 由題設(shè)知，圓的圓心坐標是，半徑為，
故圓與軸交與兩點，.……………1分
所以，在橢圓中或，又，
所以，或 (舍去，∵),    3分
于是，橢圓的方程為.   4分
(Ⅱ) 設(shè)，；
直線與橢圓方程聯(lián)立,  
化簡并整理得.   5分
∴，,∴，
.……7分
∵，∴,即得 
∴，，即為定值.  9分
(Ⅲ) ∵，
∴直線的方程為.…………10分
令，則 
, 
∴ 11分
∴ 
當且僅當即時等號成立.
故的面積存在最大值.……………13分
(或: , 令，
則.  12分
當且僅當時等號成立，此時.
故的面積存在最大值.   13分 
考點：直線與橢圓的位置關(guān)系
點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運用，屬于中檔題。

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的方程為，其離心率為，經(jīng)過橢圓焦點且垂直于長軸的弦長為3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：與橢圓C交于A、B兩點，P為橢圓上的點，O為坐標原點，且滿足，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)F為拋物線E: 的焦點，A、B、C為該拋物線上三點，已知 且.
(1)求拋物線方程；
(2)設(shè)動直線l與拋物線E相切于點P，與直線相交于點Q。證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，雙曲線與拋物線相交于，直線AC、BD的交點為P（0，p）。

（I）試用m表示
（II）當m變化時，求p的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在矩形中，分別為四邊的中點，且都在坐標軸上，設(shè),．

（Ⅰ）求直線與的交點的軌跡的方程；
（Ⅱ）過圓上一點作圓的切線與軌跡交于兩點，若，試求出的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系曲線C的極坐標方程為cos（）=1，M,N分別為C與x軸，y軸的交點。
（I）寫出C的直角坐標方程，并求M,N的極坐標；
（II）設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左焦點為，直線與軸交于點，過點且傾斜角為30°的直線交橢圓于兩點．
（Ⅰ）求直線和橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：點在以線段為直徑的圓上；
（Ⅲ）在直線上有兩個不重合的動點，以為直徑且過點的所有圓中，求面積最小的圓的半徑長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點P（4， 4），圓C：與橢圓E：有一個公共點A（3，1），F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，直線PF1與圓C相切．

（Ⅰ）求m的值與橢圓E的方程；（Ⅱ）設(shè)Q為橢圓E上的一個動點，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，離心率為，且過雙曲線的頂點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）命題：“設(shè)、是雙曲線上關(guān)于它的中心對稱的任意兩點， 為該雙曲線上的動點，若直線、均存在斜率，則它們的斜率之積為定值”．試類比上述命題，寫出一個關(guān)于橢圓的類似的正確命題，并加以證明和求出此定值；
（3）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關(guān)于方程（，不同時為負數(shù)）的曲線的統(tǒng)一的一般性命題（不必證明）.

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