Question

（2013•連云港一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為A，左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且橢圓C過點(diǎn)P（

4

3

，

b

3

），以AP為直徑的圓恰好過右焦點(diǎn)F₂．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若動(dòng)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在兩定點(diǎn)，使其到直線l的距離之積為1？若存在，請(qǐng)求出兩定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓過點(diǎn)P（

4

3

，

b

3

），以AP為直徑的圓恰好過右焦點(diǎn)F₂，及b²=a²-c²，建立方程，即可求橢圓C的方程；
（2）分類討論，利用直線l與橢圓C有只有一個(gè)公共點(diǎn)，確定k，p的關(guān)系，設(shè)在x軸上存在兩點(diǎn)（s，0），（t，0），使其到直線l的距離之積為1，建立方程，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)P（

4

3

，

b

3

），所以

16

9a2

+

1

9

=1，解得a²=2，…（2分）
又以AP為直徑的圓恰好過右焦點(diǎn)F₂，所以AF₂⊥F₂P，即-

b

c

?

b 3

4 3 -c

=-1，所以b²=c（4-3c）．…（6分）
而b²=a²-c²=2-c²，所以c²-2c+1=0，解得c²=1，
故橢圓C的方程是

x2

2

+y²=1．…（8分）
（2）①當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為y=kx+p，
代入橢圓方程得（1+2k²）x²+4kpx+2p²-2=0．
因?yàn)橹本�l與橢圓C有只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以△=16k²p²-4（1+2k²）（2p²-2）=8（1+2k²-p²）=0，
即1+2k²=p²．…（10分）
設(shè)在x軸上存在兩點(diǎn)（s，0），（t，0），使其到直線l的距離之積為1，則

|ks+p|

k2+1

?

|kt+p|

k2+1

=

|k2st+kp(s+t)+p2|

k2+1

=1，
即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或（st+3）k²+（s+t）kp+2=0 （**）．
由（*）恒成立，得

st+1=0 s+t=0.

解得

s=1 t=-1

，或

s=-1 t=1

，…（14分）
而（**）不恒成立．
②當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線方程為x=±

2

時(shí)，
定點(diǎn)（-1，0）、F₂（1，0）到直線l的距離之積d₁?d₂=（

2

-1）（

2

+1）=1．
綜上，存在兩個(gè)定點(diǎn)（1，0），（-1，0），使其到直線l 的距離之積為定值1．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查存在性問題的研究，考查學(xué)生的計(jì)算能力，同時(shí)考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．