Question

【題目】已知f（x）=﹣ex+ex（e為自然對數的底數）
（1）求函數f（x）的最大值；
（2）設g（x）=lnx+ x2+ax，若對任意x1∈（0，2]，總存在x2∈（0，2]．使得g（x1）＜f（x2），求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=﹣ex+ex的導數為f′（x）=﹣ex+e，

當x∈（﹣∞，1）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；

當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；

故f（x）max=f（1）=0；

（2）解：對任意x1∈（0，2]，總存在x2∈（0，2]，

使得g（x1）＜f（x2）等價于g（x1）＜f（x2）max．

由（1）可知f（x2）max=f（1）=0．

問題轉化為g（x）＜0在x∈（0，2]恒成立．

參變量分離得：﹣a＞ = + x，

令r（x）= + x，x∈（0，2]，

r′（x）= + ，由0＜x≤2時，1﹣lnx＞0，得r′（x）＞0，

即r（x）在x1∈（0，2]上單增．

故﹣a＞r（x）max=r（2）= +1．

綜上：a＜﹣ ﹣1，

即a的取值范圍為 （﹣∞，﹣ ﹣1）．

【解析】（1）求得f（x）的導數，由導數大于0，可得增區(qū)間；導數小于0，可得減區(qū)間，進而得到函數f（x）的最大值；（2）由題意可得g（x1）＜f（x2）max ． 由（Ⅰ）可得問題轉化為g（x）＜0在x∈（0，2]恒成立．運用參數分離，求得不等式右邊函數的最大值，即可得到所求a的范圍．