Question

在中，已知，又的面積等于6.

（Ⅰ）求的三邊之長；

（Ⅱ）設(shè)是（含邊界）內(nèi)一點(diǎn)，到三邊的距離分別為，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）三邊長分別為3，4，5.（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）對條件，由正弦定理和余弦定理可以轉(zhuǎn)化為只含邊的等式，這個等式

化簡后為，由此得 ，所以.再根據(jù)三角形的面積等于6可得BC＝4，由勾股定理可得AB＝5.

（Ⅱ）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x, y），則由點(diǎn)到直線的距離公式可將用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出來，然后用線性規(guī)劃可求出其取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）法一、設(shè)三角形三內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的三邊分別為a, b, c，

∵，∴，由正弦定理有,

又由余弦定理有，∴，即，

所以為Rt，且            3分

所以 

又，由勾股定理可得AB＝5       6分

法二、設(shè)三角形三內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的三邊分別為a, b, c，

∵，∴，由正弦定理有,

又由余弦定理有，∴，即，

所以為Rt，且            3分

又

（1）÷（2），得           4分

令a=4k, b=3k (k>0)

則∴三邊長分別為3，4，5     6分

（Ⅱ）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則A、B坐標(biāo)為（3，0），（0，4），直線AB方程為

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x, y），則由P到三邊AB、BC、AB的距離為d₁, d₂和d₃可知

，          8分

且故       10分

令，由線性規(guī)劃知識可知0≤m≤8，故d₁+d₂+d₃的取值范圍是  12分

考點(diǎn)：1、解三角形；2、點(diǎn)到直線的距離；3、線性規(guī)劃