Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，2]上最小值．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)f（x）的定義域，然后對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減求出單調(diào)區(qū)間；
（2）分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定函數(shù)的最值．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx-ax，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
求導(dǎo)函數(shù)可得f'（x）=

1

x

-2
①由f'（x）＞0，x＞0，得0＜x＜

1

2

②由f'（x）＜0，x＞0，得x＞

1

2

故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

1

2

），單調(diào)減區(qū)間是（

1

2

，+∞）．…（8分）
（2）①當(dāng)

1

a

≤1，即a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．…（10分）
②當(dāng)

1

a

≥2，即a≤

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．…（12分）
③當(dāng)1＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，

1

a

]上是增函數(shù)，在[

1

a

，2]上是減函數(shù)．
又f（2）-f（1）=ln2-a，
∴當(dāng)

1

2

＜a＜ln2時(shí)，最小值是f（1）=-a；
當(dāng)ln2≤a＜1時(shí)，最小值為f（2）=ln2-2a．…（15分）
綜上可知，當(dāng)0＜a＜ln2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是-a；當(dāng)a≥ln2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是ln2-2a．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查函數(shù)的最值，正確求導(dǎo)，確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵．