Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷的單調(diào)性并寫出證明過程；

（2）當(dāng)時，關(guān)于x的方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在R上遞增，證明見解析；（2）或.

【解析】

（1）先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，作差比較大小即可求證明；

（2）根據(jù)（1）中所求單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)問題，利用之間的關(guān)系進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問題即可求得.

（1）在R上遞增.

證明：，恒成立，的定義域?yàn)?/span>R.

令，，

是奇函數(shù).

令，，

，

在上遞增，又是R上連續(xù)不斷的奇函數(shù)，

在R上遞增.

（2）由（1）得

且在R上遞增.

整理得，在上有唯一實(shí)數(shù)解

構(gòu)造，，.

令，則，

，

在內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，無零點(diǎn).

又，在上為增函數(shù).

ⅰ）若在內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，無零點(diǎn).

則

ⅱ）若為的零點(diǎn)，無零點(diǎn)，

則，

又，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

綜上所述：或.