【題目】直線AB為圓的切線,切點為B,點C在圓上,∠ABC的角平分線BE交圓于點E,DB垂直BE交圓于點D.
(1)證明:DB=DC;
(2)設(shè)圓的半徑為1,BC=3,延長CE交AB于點F,求△BCF外接圓的半徑.
【答案】
(1)證明:連結(jié)DE,交BC于點G.
由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.
而∠ABE=∠CBE,
故∠CBE=∠BCE,BE=CE.
又因為DB⊥BE,
所以DE為直徑,∠DCE=90°,
由勾股定理可得DB=DC
(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,
故DG是BC的中垂線,
所以BG= .
設(shè)DE的中點為O,連結(jié)BO,則∠BOG=60°.
從而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,
所以CF⊥BF,
故Rt△BCF外接圓的半徑等于 .
【解析】(1)構(gòu)造輔助線DE,交BC于點G.由弦切角定理,圓上的同弧,等弧的性質(zhì),通過導角,可以得知∠CBE=∠BCE,BE=CE,又因為DE為直徑,即∠DCE=90°,由勾股定理可證得DB=DC;(2)由(1)可得DG是BC的中垂線,即可求得BG的長度.設(shè)DE的中點為O,連結(jié)BO,求得∠BOG=60°,通過導角,可得CF⊥BF,即可求得Rt△BCF外接圓的半徑.
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【題目】已知橢圓 (a>b>0)的焦點在圓x2+y2=3上,且離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過原點O的直線l與橢圓C交于A,B兩點,F為右焦點,若△FAB為直角三角形,求直線l的方程.
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【題目】以雙曲線 (a>0,b>0)上一點M為圓心的圓與x軸恰相切于雙曲線的一個焦點F,且與y軸交于P、Q兩點.若△MPQ為銳角三角形,則該雙曲線的離心率e的范圍是( )
A.
B.( , )
C.
D.
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【題目】已知 ,方程f(x)=0有3個不同的根.
(1)求實數(shù)m的取值范圍;
(2)是否存在實數(shù)m,使得f(x)在(0,1)上恰有兩個極值點x1 , x2且滿足x2=2x1 , 若存在,求實數(shù)m的值;若不存在,說明理由.
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【題目】已知是定義在上的偶函數(shù),對于,都有,當時,,若在[-1,5]上有五個根,則此五個根的和是( )
A. 7 B. 8 C. 10 D. 12
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【題目】已知橢圓: 的一個焦點與拋物線的焦點重合,且截拋物線的準線所得弦長為.
(1)求該橢圓的方程;
(2)若過點的直線與橢圓相交于, 兩點,且點恰為弦的中點,求直線的方程.
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【題目】根據(jù)條件,求下列曲線的方程.
(1)已知兩定點,曲線上的點到距離之差的絕對值為,求曲線的方程;
(2)在 軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直,且焦距為的橢圓的標準方程.
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【題目】在直角坐標系中,曲線與軸交于,兩點,點的坐標為,當變化時,解答下列問題:
()能否出現(xiàn)的情況?說明理由.
()證明過,,三點的圓在軸上截得的弦長為定值.
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