設(shè)y＝f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：(i)f(－1)＝f(1)＝0；(ii)對(duì)任意的u、v∈[－1，1]，都有｜f(u)－f(v)｜≤｜u－v｜

(1)

證明：對(duì)任意的x∈[－1，1]，都有：

x－1≤f(x)≤1－x

(2)

判斷函數(shù)g(x)＝，是否滿足題設(shè)條件

(3)

在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y＝f(x)，且使得對(duì)任意的u、v∈[－1，1]，都有｜f(u)－f(v)｜＝｜u－v｜?若存在，請(qǐng)舉一例；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案：
解析：

(1)

解析：(1)當(dāng)x∈［－1，1］時(shí)，有｜f(x)｜＝｜f(x)－f(x)｜≤｜x－1｜＝1－x，因此x－1≤f(x)≤1－x．

(2)

　　函數(shù)g(x)滿足題設(shè)條件．驗(yàn)證如下：

　　g(－1)＝0＝g(1)；對(duì)任意u、v∈［0，1］時(shí)，｜g(u)－g(v)｜＝｜(1－u)，(1－v)｜＝｜u－v｜；當(dāng)u、v∈［－1，0］，同理｜g(u)－g(v)｜＝｜u－v｜；當(dāng)u·v＜0，不妨設(shè)u∈［－1，0］，u∈［0，1］，｜g(u)－g(v)｜＝｜(1－u)，(1－v)｜≤｜v－u｜．

(3)

　　假設(shè)存在f(x)滿足條件，則由f(－1)＝f(1)＝0 ①．又由于對(duì)任意u、v∈[－1，1]都有｜f(u)－f(v)｜＝｜u－v｜，所以｜f(1)－f(－1)｜＝｜1－(－1)｜＝2②．①與②矛盾，因此假設(shè)不成立，即這樣的函數(shù)不存在．

　　點(diǎn)評(píng)：本題是典型的存在性問(wèn)題，對(duì)此一般都是從假設(shè)符合條件的“對(duì)象”存在開(kāi)始探究．


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設(shè)y＝f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：

①f(－1)＝f(1)＝0；

②對(duì)任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．

(1)證明：對(duì)任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(2)判斷函數(shù)g(x)＝是否滿足題設(shè)條件；

(3)在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y＝f(x)，且使得對(duì)任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|＝|u－v|．

若存在，請(qǐng)舉一例；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：設(shè)計(jì)選修數(shù)學(xué)－1-2蘇教版 蘇教版 題型：044

(精典回放)設(shè)y＝f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：①f(－1)＝f(1)＝0；②對(duì)任意的μ、v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|μ－v|

(1)證明：對(duì)任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(2)證明：對(duì)任意的μ、v∈[－1，1]，都有

|f(u)－f(v)|≤1；

(3)在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)y＝f(x)，且使得：

|f(μ)－f(v)|＜|μ－v|，當(dāng)μ、v∈[0，]．

|f(μ)－f(v)|＜|μ－v|，當(dāng)μ、v∈[，1]．

若存在，請(qǐng)舉一例；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：泰州市2006～2007學(xué)年度第一學(xué)期期末聯(lián)考高3數(shù)學(xué)試題 題型：022

設(shè)y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，給定下列三個(gè)條件：(1)y＝f(x)是偶函數(shù)；(2)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱；(3)T＝2為y＝f(x)的一個(gè)周期．如果將上面(1)、(2)、(3)中的任意兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，那么構(gòu)成的三個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)有________個(gè)．

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設(shè)y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，如果存在A點(diǎn)，對(duì)函數(shù)y＝f(x)的圖像上任意點(diǎn)P，P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)Q也在函數(shù)y＝f(x)的圖像上，則稱函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，A稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)．對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(x)，可以證明點(diǎn)A(a，b)是f(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的充要條件是f(a－x)＋f(a＋x)＝2b，x∈R．

(1)求函數(shù)f(x)＝x3＋3x2圖像的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)；

(2)函數(shù)

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設(shè)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，對(duì)任意的，都有，且f(1)＝a＞0

(1)求；

(2)證明：y＝f(x)是周期函數(shù)．

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