Question

（2011•安徽模擬）古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．如圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形”之和，下列等式中，符合這一規(guī)律的表達(dá)式為（　�。�
①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；④49=18+31；⑤64=28+36．

A．③⑤

B．②④⑤

C．②③④

D．①②③⑤

Answer 1

分析：根據(jù)題意，歸納可得“三角形數(shù)”與“正方形數(shù)”的規(guī)律，進(jìn)而可得兩者之間的關(guān)系為n²=

n(n-1)

2

+

n(n+1)

2

，據(jù)此依次驗(yàn)證5個(gè)表達(dá)式可得：對(duì)于①，13不是正方形數(shù)；對(duì)于②，9和16不是三角形數(shù)；對(duì)于③，是關(guān)系式中n=6的表達(dá)式，對(duì)于④，18和31不是三角形數(shù)；對(duì)于⑤，是關(guān)系式中n=8的表達(dá)式，即可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，分析可得：“三角形數(shù)”的規(guī)律是1，3，6，10，…，

n(n+1)

2

，…；
“正方形數(shù)”的規(guī)律是4，9，16，…n²，…；
且正方形數(shù)是這串?dāng)?shù)中相鄰兩數(shù)之和，即n²=

n(n-1)

2

+

n(n+1)

2

；
對(duì)于①，13=3+10，13不是正方形數(shù)；
對(duì)于②，9和16不是三角形數(shù)；
對(duì)于③，在n²=

n(n-1)

2

+

n(n+1)

2

中，令n=6，可得36=15+21；
對(duì)于④，18和31不是三角形數(shù)；
對(duì)于⑤，在n²=

n(n-1)

2

+

n(n+1)

2

中，令n=8，可得28+36=64；
只有③⑤是對(duì)的；
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，關(guān)鍵是根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)“三角形數(shù)”、“正方形數(shù)”的變化規(guī)律以及兩者之間的聯(lián)系．