已知函數(shù).
（1）設函數(shù)求的極值.
（2）證明：在上為增函數(shù)。

（1） 當時，無極值；當時，在處取得極小值，無極大值。 （2）見解析

解析試題分析：（1） ,在求極值時要對參數(shù)討論,顯然當時為增函數(shù),無極值,當時可求得的根,再討論兩側的單調性;（2）要證明增函數(shù),可證明恒正,可再次對函數(shù)進行求導研究其單調性與最值,只要說明的最小值恒大于等于0即可.已知函數(shù)在一個區(qū)間上的單調性,可轉化為導函數(shù)在這個區(qū)間上恒正或恒負問題,變?yōu)橐粋�恒成立問題,可用相應函數(shù)的整體最值來保證,若求參數(shù)范圍可以采用常數(shù)分離法.
試題解析：（1）由題意：
①當時，，為上的增函數(shù)，所以無極值。
②當時，令得， 
，；，
所以在上單調遞減，在上單調遞增
所以在處取得極小值，且極小值為，無極大值
綜上，當時，無極值；當，在處取得極小值，無極大值。
（2）由
設，則
所以時，；時，
所以在上單調遞減,在上單調遞增,
所以即在上單調遞增.
考點：1、函數(shù)的極值最值求法；2、構造函數(shù)解決新問題.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知x＝3是函數(shù)f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一個極值點．
(1)求a；
(2)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；
(3)若直線y＝b與函數(shù)y＝f(x)的圖象有3個交點，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)的圖像在點處的切線斜率為10.
(1)求實數(shù)的值;
(2)判斷方程根的個數(shù),并證明你的結論;
(21)探究: 是否存在這樣的點,使得曲線在該點附近的左、右兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側? 若存在,求出點A的坐標;若不存在,說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
⑴當時，①若的圖象與的圖象相切于點，求及的值；
②在上有解，求的范圍；
⑵當時，若在上恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù).
（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）當時，若恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知圖像過點，且在處的切線方程是.
（1）求的解析式；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中.
（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值點；
（Ⅱ）若在區(qū)間內單調遞增，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，現(xiàn)要在邊長為的正方形內建一個交通“環(huán)島”.正方形的四個頂點為圓心在四個角分別建半徑為（不小于）的扇形花壇，以正方形的中心為圓心建一個半徑為的圓形草地.為了保證道路暢通，島口寬不小于，繞島行駛的路寬均不小于.

（1）求的取值范圍；（運算中取）
（2）若中間草地的造價為元，四個花壇的造價為元，其余區(qū)域的造價為元，當取何值時，可使“環(huán)島”的整體造價最低？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中為常數(shù).
（Ⅰ）若函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）若在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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