Question

已知：三定點(diǎn)A(-,0)、B(,0)、C(-,0)，動(dòng)圓M與線段AB相切于點(diǎn)N，且|AN|-|BN|=，現(xiàn)分別過(guò)點(diǎn)A、B作動(dòng)圓M的切線，兩切線交于點(diǎn)P．

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)直線3x-3my-2=0截動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所得弦長(zhǎng)為2，求m的值；

(3)是否存在常數(shù)λ，使得∠PBC=λ∠PCB，若存在，求λ的值．若不存在，并請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解:(1)由平面幾何知識(shí)得：

|PA|-|PB|=|AN|-|BN|=

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(部分)

設(shè)它的方程為，則

解得：

故所求的方程為 

(2)設(shè)直線3x-3my-2=0與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡相交于點(diǎn)Q₁(x₁,y₁)、Q₂(x₂,y₂),

∵直線3x-3my-2=0恒過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)B

∴由雙曲線定義知：

|Q₁Q₂|=e(x₁+x₂-)=2(x₁+x₂-)=2

∴x₁+x₂=

若m=0，則x₁=x₂=,此時(shí)x₁+x₂=，即|Q₁Q₂|=2合題意

若m≠0,由

消去y得：9x²-3,化簡(jiǎn)得：

(27m²-9)x²+12x-3m²-4=0,x₁+x₂=

解得m=0與m≠0矛盾.  ∴m=0 

 (3)當(dāng)x=時(shí),|BP|=1,|BC|=1,此得∠PCB=45°,∠PBC=90°猜想λ=2 

當(dāng)x≠時(shí),設(shè)P(x,y)

則y²=-3(),且tan∠PCB=

∴tan2∠PCB=

而tan∠PBC=-tan∠PBx=

∴tan2∠PBC=tan∠PBC

又∵0＜∠PBC＜π,0＜2∠PBC＜π

∠PBC=λ∠PBC.