Question

已知：三定點(diǎn)A(-

2

3

，0)，B(

2

3

，0)，C(-

1

3

，0)，動(dòng)圓M線(xiàn)AB相切于N，且|AN|-|BN|=

2

3

，現(xiàn)分別過(guò)點(diǎn)A、B作動(dòng)圓M的切線(xiàn)，兩切線(xiàn)交于點(diǎn)P．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）直線(xiàn)3x-3my-2截動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所得弦長(zhǎng)為2，求m的值；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得∠PBC=λ∠PCB，若存在，求λ的值，若不存在，并請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可推斷出：|PA|-|PB|=|AN|-|BN|，進(jìn)而利用雙曲線(xiàn)的定義推斷出P的軌跡為雙曲線(xiàn)的一部分，設(shè)出雙曲線(xiàn)的方程利用題意可求得a和c，則b可求得，進(jìn)而求得雙曲線(xiàn)的方程．
（2）設(shè)出直線(xiàn)與P的軌跡交與Q₁和Q₂，利用雙曲線(xiàn)的定義表示出Q₁Q₂，把直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的方程聯(lián)立，消去y，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂，求得m．
（3）先通過(guò)x=

2

3

時(shí)，求得BP，BC進(jìn)而猜想出λ的值，進(jìn)而看x≠

2

3

時(shí)，設(shè)出P的坐標(biāo)代入橢圓的方程，表示出tan∠PCB，利用正切的二倍角公式求得tan2∠PCB，進(jìn)而tan∠PBC=-tan∠PBx判斷出tan2∠PCB=tan∠PBC，進(jìn)而可知存在λ=2，使題設(shè)成立．

解答：解：（1）由平幾知識(shí)得：|PA|-|PB|=|AN|-|BN|=

2

3

＞|AB|=

4

3

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)（部分）
設(shè)它的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(x＞a)，則

2a= 2 3 2c= 4 3 c2=a2+b2

解得：

a2= 1 9 b2= 1 3

，故所求的方程為

x2

1 9

-

y2

1 3

=1(x＞

1

3

)
（2）設(shè)直線(xiàn)3x-3my-2=0與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡相交于是Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），
∵直線(xiàn)3x-3my-2=0恒過(guò)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)B
∴由雙曲線(xiàn)定義知|Q₁Q₂|=e(x1+x2-

1

3

)=2(x1+x2-

1

3

)=2
∴x₁+x₂=

4

3

若m=0，則x₁=x₂=

2

3

，此時(shí)x1+x2=

4

3

，即|Q₁Q₂|=2合題意若m≠0，由

3x-3my-2=0 9x2-3y2=1

，消去y得：9x2-3(

2

3m

-

1

m

x)2=1，
化簡(jiǎn)得：（27m²-9）x²+12x-3m²-4=0，x₁+x₂=

12

9-27m2

=

4

3

解得m=0與m≠0矛盾．
∴m=0
（3）當(dāng)x=

2

3

時(shí)，|BP|=1，|BC|=1，此時(shí)∠PCB=45°，∠PBC=90°
猜想λ=2
當(dāng)x≠

2

3

時(shí)，設(shè)P（x，y）則{y^2}=-3(

1

9

-x2)，且tan∠PCB=

y

x+ 1 3

∴tan2∠PCB=

2•( y x+ 1 3 )

1- y2 (x+ 1 3 )2

=

2y(x+ 1 3 )

(x+ 1 3 )2-y2

=

2y(x+ 1 3 )

(x+ 1 3 )2+3( 1 9 -x2)

=

2y

4 3 -2x

=

y

2 3 -x

而tan∠PBC=-tan∠PBx=

y

x- 2 3

=

y

2 3 -x

∴tan2∠PCB=tan∠PBC
又∵0＜∠PBC＜π，0＜2＜PBC＜π
∴2∠PCB=∠PBC即存在λ=2，使得：∠PBC=λ∠PCB

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合利用以及的基本的運(yùn)算能力．