Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，三角形為等邊三角形， ，且．

（1）求證： 平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理可得，從而根據(jù)直線(xiàn)與平面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得，由平面平面可得， 平面，從而根據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)論；（3）根據(jù)等積變換.

試題解析：（1）∵， 分別為， 的中點(diǎn)，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面，

綜上所述，命題得證．

（2）∵， 為的中點(diǎn)，

∴，

∵平面平面， 平面，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面，

綜上所述：命題得證．

（3）在等腰直角三角形中，

，∴， ，

∴，

∵平面，

∴，

∴．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線(xiàn)面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線(xiàn)面平行的常用方法：①利用線(xiàn)面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn)，可利用幾何體的特征，合理利用中位線(xiàn)定理、線(xiàn)面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線(xiàn)平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線(xiàn)平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.．