Question

我國農(nóng)業(yè)科學家在某地區(qū)研究玉米植株生長與時間的函數(shù)關(guān)系，通過觀測、分析，列出了該地區(qū)玉米在不同階段的高度數(shù)據(jù)：

生長階段	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
植株高度（cm）	0.67	0.85	1.28	1.75	2.27	2.75	3.69	4.71	6.36	7.73	9.91
生長階段	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
植株高度（cm）	12.75	16.55	20.1	27.35	32.55	37.55	44.75	53.38	71.61	83.89	97.46
生長階段	23	24	25	26	27	28	29	30	31
植株高度（cm）	112.73	135.12	153.6	160.32	167.05	174.9	177.87	180.19	180.79

（1）畫出函數(shù)圖形，近似地寫出一個函數(shù)關(guān)系式表達兩個變量之間的關(guān)系；

（2）利用得出的關(guān)系式，與表中實際數(shù)據(jù)比較；

（3）說出關(guān)系式給出的一些信息.

Answer 1

解析：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)是描述客觀變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，本題通過畫出函數(shù)圖形，假設(shè)為指數(shù)函數(shù)，結(jié)合圖表，可以清楚地看出，第1到第6個生長階段與實際得到的數(shù)據(jù)誤差很小，后面的數(shù)據(jù)誤差較大.

解：（1）畫出函數(shù)圖形（如下圖所示），函數(shù)的圖形近似于“S”形.

（2）以我們現(xiàn)有的知識很難找出一個函數(shù)關(guān)系式來近似地表達這個圖形，但我們仔細觀察第1個生長階段至第25個生長階段的函數(shù)圖象后會發(fā)現(xiàn)，它與我們比較熟悉的指數(shù)函數(shù)的圖象相像.

    下面我們來考慮給出第1至第25個生長階段的一個指數(shù)函數(shù)關(guān)系式.

    假設(shè)指數(shù)函數(shù)為y=ae^bx，并且通過點（2，0.85）和（23，112.73），把這兩個點的坐標代入函數(shù)關(guān)系式，解方程組得a=0.534，b=0.233.

    因此，用指數(shù)函數(shù)近似得到的關(guān)系式為

y=f（x）=0.534e^0.233x.

    由得到的關(guān)系式計算出各個生長階段的近似值如下表：

生長階段x	1	2		3		4		5		6		7		8		9		10		11		12		13
函數(shù)值f(x)	0.67	0.85		1.07		1.36		1.71		2.16		2.73		3.44		4.34		5.48		6.92		8.74		11.03
生長階段x	14		15		16		17		18		19		20		21		22		23		24		25
函數(shù)值f(x)	13.93		17.58		22.2		28.02		35.37		44.66		56.37		71.16		89.84		113.41		143.17		180.73

     從表中我們可以清楚地看出，第1到第6個生長階段與實際得到的數(shù)據(jù)誤差很小，后面的數(shù)據(jù)誤差較大.

（3）這個指數(shù)函數(shù)在玉米生長的后幾個階段增長較快，與實際數(shù)據(jù)中穩(wěn)定于某一數(shù)值附近不符.