【題目】已知函數(shù).
(1)若是的極值點(diǎn),求的極大值;
(2)求實(shí)數(shù)的范圍,使得恒成立.
【答案】(1).(2)
【解析】
(1)先對函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合極值存在的條件可求t,然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可求極大值;
(2)由已知代入可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0時(shí)恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx,結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)可求.
(1),x>0,
由題意可得,0,解可得t=﹣4,
∴,
易得,當(dāng)x>2,0<x<1時(shí),f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)1<x<2時(shí),f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,
故當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得極大值f(1)=﹣3;
(2)由f(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx+2≥2在x>0時(shí)恒成立可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0時(shí)恒成立,
令g(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx,則,
(i)當(dāng)t≥0時(shí),g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
所以g(x)min=g(1)=t﹣1≥0,解可得t≥1,
(ii)當(dāng)﹣2<t<0時(shí),g(x)在()上單調(diào)遞減,在(0,),(1,+∞)上單調(diào)遞增,
此時(shí)g(1)=t﹣1<﹣1不合題意,舍去;
(iii)當(dāng)t=﹣2時(shí),g′(x)0,即g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,此時(shí)g(1)=﹣3不合題意;
(iv)當(dāng)t<﹣2時(shí),g(x)在(1,)上單調(diào)遞減,在(0,1),()上單調(diào)遞增,此時(shí)g(1)=t﹣1<﹣3不合題意,
綜上,t≥1時(shí),f(x)≥2恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,求的值;
(2)求函數(shù)的極值;
(3)當(dāng)時(shí),若直線與曲線沒有公共點(diǎn),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線極坐標(biāo)方程為,直線與曲線交于、兩點(diǎn).
(1)求直線的普通方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線上有定點(diǎn),求的值.
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【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=CB=C1C=1,M,N分別是AB,A1C的中點(diǎn).
(1)求證:直線MN⊥平面ACB1;
(2)求點(diǎn)C1到平面B1MC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖,菱形的邊長為2,對角線,現(xiàn)將沿著對角線翻折至點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若,且點(diǎn)E為線段的中點(diǎn),求與平面夾角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;
(2)若函數(shù)的值域?yàn)?/span>A,且,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,圓形紙片的圓心為,半徑為,該紙片上的等邊三角形的中心為.,,為圓上的點(diǎn),分別是以為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以為折痕折起,使得,,重合,得到三棱錐.當(dāng)所得三棱錐體積(單位:)最大時(shí),的邊長為_________().
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為迎接2022年北京冬季奧運(yùn)會,普及冬奧知識,某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動.現(xiàn)從參加冬奧知識競賽活動的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,將他們的比賽成績(滿分為100分)分為6組:,,,,,,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求的值;
(2)估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);
(3)在抽取的100名學(xué)生中,規(guī)定:比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”,比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”.請將下面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”?
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計(jì) | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合計(jì) | 100 |
參考公式及數(shù)據(jù):
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),其中.
(1)求的值;
(2)若對任意的,有成立,求實(shí)數(shù)的最大值.
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