Question

【題目】已知函數(shù)，且.

（1）求；

（2）證明：存在唯一極大值點(diǎn)，且.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)解析式變形為,由可知.構(gòu)造函數(shù),并求得其導(dǎo)函數(shù),通過(guò)討論的不同取值范圍,分析函數(shù)的單調(diào)性及最值,即可求得.

（2）求得導(dǎo)函數(shù).并構(gòu)造函數(shù),求得.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷出的單調(diào)區(qū)間,并求得與,從而可知唯一的零點(diǎn)在.即,并判斷的單調(diào)情況,即可得知存在唯一極大值點(diǎn).因?yàn)?/span>,代入方程表示為,再代入即可結(jié)合證明不等式成立.

（1）因?yàn)?/span>,且,所以,

構(gòu)造函數(shù),則,又,

若,則,則在上單調(diào)遞增,則當(dāng)時(shí),矛盾,舍去；

若,則,則當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞增,則矛盾,舍去；

若,則,則當(dāng)時(shí),,

則在上單調(diào)遞減,則矛盾,舍去；

若,則當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,

則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

故,則,滿(mǎn)足題意；

綜上所述,.

（2）證明:由（1）可知,則,

構(gòu)造函數(shù),則,

又在上單調(diào)遞增,且,

故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,

則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

又,,又,

結(jié)合零點(diǎn)存在性定理知,在區(qū)間存在唯一實(shí)數(shù),使得,

當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,

故在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,

故存在唯一極大值點(diǎn),因?yàn)?/span>,所以,

故,

因?yàn)?/span>,所以.