必做題:(本小題滿分10分,請(qǐng)?jiān)诖痤}指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
已知an(n∈N*)是二項(xiàng)式(2+x)n的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù).
(Ⅰ)求an
(Ⅱ)是否存在等差數(shù)列{bn},使an=b1cn1+b2cn2+b3cn3+…+bncnn對(duì)一切正整數(shù)n都成立?并證明你的結(jié)論.
分析:(I)結(jié)合((2+x)n的展開式的通項(xiàng)Tr+1=Cnr2n-rxr,令r=1可得an=Cnr2n-r=n•2n-1
(II)若存在等差數(shù)列{bn},滿足已知條件則把n=1,n=2,n=3分別代入可求b1,b2,b3,結(jié)合所求可猜想bn=n
再證明:an=b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn對(duì)一切正整數(shù)n都成立
(法一)設(shè)S=Cn1+2Cn2+…+nCnn,則S=nCnn+(n-1)Cnn-1+…+Cn1,利用倒序相加結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可證
(法二)利用組合數(shù)的性質(zhì)kCnk=nCn-1k-1,對(duì)原式化簡(jiǎn)可證
解答:解:(I)∵((2+x)n的展開式的通項(xiàng)為:Tr+1=Cnr2n-rxr(r=0,1,2…n)
令r=1可得an=Cnr2n-r=n•2n-1
(II)若存在等差數(shù)列{bn},滿足已知條件
則當(dāng)n=1時(shí),b1=a1=1
當(dāng)n=2時(shí),a2=b1C21+b2C22即4=4=2+b2,所以b2=2
當(dāng)n=3時(shí),a3=b1C31+b2C32+b3C33即12=3+6+b3,所以b3=3
由上述結(jié)果,猜想bn=n
下面證明:當(dāng)bn=n時(shí),an=b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn對(duì)一切正整數(shù)n都成立
即證n•2n-1=Cn1+2Cn2+…+nCnn成立
(法一)設(shè)S=Cn1+2Cn2+…+nCnn
S=nCnn+(n-1)Cnn-1+…+Cn1
則2S=nCn0+nCn1+…+nCnn=n(Cn0+Cn1+…+Cnn)=n•2n
∴S=n•2n-1
即n•2n-1=Cn1+2Cn2+…+nCnn成立
(法二)∵kCnk=k
n!
k!(n-k)!
=
n!
(k-1)!(n-k)!
=n
(n-1)!
(k-1)![(n-1)-(k-1)]!
=nCn-1k-1
∴Cn1+2Cn2+…+nCnn=n(Cn-10+Cn-11+…+Cn-1n-1)=n•2n-1
綜上可得,存在等差數(shù)列bn=n滿足已知條件.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求解指定項(xiàng)的系數(shù),考查了組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì):①Cn0+Cn1+…+Cnn=2n②kCnk=nCn-1k-1的綜合應(yīng)用及倒序求和、數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題等知識(shí)的綜合應(yīng)用.
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.[必做題](本小題滿分10分)

已知,(其中

.

(1)求;

(2)求證:當(dāng)時(shí),

 

 

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22.[必做題](本小題滿分10分)

在十字路口的路邊,有人在促銷木糖醇口香糖,只聽喇叭里喊道:木糖醇口香糖,10元錢三瓶,有8種口味供你選擇(其中有一種為草莓口味)。小明一看,只見一大堆瓶裝口香糖堆在一起(假設(shè)各種口味的口香糖均超過3瓶,且每瓶?jī)r(jià)值均相同).

(1)小明花10元錢買三瓶,請(qǐng)問小明共有多少種選擇的可能性?

(2)小明花10元錢買三瓶,售貨員隨便拿三瓶給小明,請(qǐng)列出有小明喜歡的草莓味口香糖瓶數(shù)的分布列,并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望.

 

 

 

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電視臺(tái)舉辦猜獎(jiǎng)活動(dòng),參與者需先后回答兩道選擇題:?jiǎn)栴}A有四個(gè)選項(xiàng),問題B有六個(gè)選

項(xiàng),但都只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。正確回答問題A可獲獎(jiǎng)金m元,正確回答問題B可獲獎(jiǎng)金n元。

    活動(dòng)規(guī)定:①參與者可任意選擇回答問題的順序;②如果第一個(gè)問題回答錯(cuò)誤,則該參與者猜獎(jiǎng)活動(dòng)中止。

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