Question

【題目】已知拋物線：，過焦點的直線與拋物線相交于，兩點，且當直線傾斜角為時，與拋物線相交所得弦的長度為8.

（1）求拋物線的方程；

（2）若分別過點，兩點作拋物線的切線，，兩條切線相交于點，點關于直線的對稱點，判斷四邊形是否存在外接圓，如果存在，求出外接圓面積的最小值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；最小面積為

【解析】

（1）根據題意求出直線傾斜角為時的方程，與拋物線方程聯立，利用根與系數關系和焦半徑公式，求出弦長，即可求出；

（2）點關于直線的對稱點為，可得，從而有，判斷四邊形是否存在外接圓，只需判斷是否有，即是否垂直，根據切線的幾何意義，求出的斜率，即可得出結論，如果存在外接圓，外接圓的直徑為，要使外接圓面積最小，即求最小，利用根與系數關系和相交弦長公式，即可求解.

（1）由題意知，設點，，

當直線傾斜角為時，直線的方程為，

由得：，

所以.又由，所以，

所以拋物線的方程為.

（2）四邊形存在外接圓.

設直線方程為，

代入中，得，則，

且，，

所以，

因為：，即，所以.

因此，切線的斜率為，切線的斜率為，

由于，所以，即是直角三角形，

所以的外接圓的圓心為線段的中點，線段是圓的直徑，

所以點一定在的外接圓上，即四邊形存在外接圓.

又因為，所以當時，線段最短，最短長度為4，

此時圓的面積最小，最小面積為.