Question

【題目】已知函數(shù) ，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（4，f（4））處的切線方程；
（2）若對任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值的集合M；
（3）當(dāng)a∈M時，討論函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴f'（4）=e2，又∵f（4）=e2，

∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)（4，f（4））的切線方程為y﹣e2=e2（x﹣4），

即y=e2x﹣3e2；

（2）解：由g（1）=0及題設(shè)可知，對任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）恒成立，

∴函數(shù)g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）必在x=1處取得極小值，即g'（1）=0，

∵g'（x）=lnx+1﹣a，∴g'（1）=1﹣a=0，即a=1，

當(dāng)a=1時，g'（x）=lnx，∴x∈（0，1），g'（x）＜0；x∈（1，+∞），g'（x）＞0，

∴g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，

則g（x）min=g（1）=0

∴對任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合題意，即a=1，

∴M={1}；

（3）解：由（Ⅱ）a=1，

∴函數(shù) ，其定義域?yàn)椋?，+∞），

求得 ，

令m（x）=h'（x）， 為區(qū)間（0，+∞）上的增函數(shù)，

設(shè)x0為函數(shù)m'（x）的零點(diǎn)，即 ，則 ，

∵當(dāng)0＜x＜x0時，m'（x）＜0；當(dāng)x＞x0時，m'（x）＞0，

∴函數(shù)m（x）=h'（x）在區(qū)間（0，x0）上為減函數(shù)，在區(qū)間（x0，+∞）上為增函數(shù)，

∴ ，

∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)．

【解析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f'（4）=e2 ， 又f（4）=e2 ， 則函數(shù)f（x）在點(diǎn)（4，f（4））的切線方程為y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)a的取值對函數(shù)的單調(diào)性加以判斷，當(dāng)a=1時，g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，對任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合題意，即a=1，從而求出實(shí)數(shù)a的取值的集合M；（3）把a(bǔ)的值代入函數(shù)解析式，然后求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)把定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．