Question

【題目】在一個(gè)十進(jìn)制正整數(shù)中，如果它含有偶數(shù)（包括零）個(gè)數(shù)字 8 ，則稱(chēng)它為“優(yōu)數(shù)” ，否則就稱(chēng)它為“非優(yōu)數(shù)” .那么，長(zhǎng)度（位數(shù)）不超過(guò) （是正整數(shù)）的所有“優(yōu)數(shù)” 的個(gè)數(shù)是 __________.

Answer 1

【答案】

【解析】

令長(zhǎng)度為的“優(yōu)數(shù)”的個(gè)數(shù)是，則.

令≥2，對(duì)于，一方面，在長(zhǎng)度為的“非優(yōu)數(shù)”的末尾添加數(shù)字8，

就變成長(zhǎng)度為的“優(yōu)數(shù)”，且這樣的“優(yōu)數(shù)”有個(gè)；

在長(zhǎng)度為的“優(yōu)數(shù)”的末尾添加一個(gè)非8數(shù)字，就變成長(zhǎng)度為的“優(yōu)數(shù)”，

且這樣的“優(yōu)數(shù)”有個(gè).

顯然，這兩類(lèi)長(zhǎng)度為的“優(yōu)數(shù)”不相同（個(gè)位數(shù)不同）.

另一方面，反之亦然.這就構(gòu)成一一對(duì)應(yīng).

于是，.

即

令，則.

令（為待定的常數(shù)），則

.

令，則，于是，

，

.

故.

所以，長(zhǎng)度不超過(guò)的所有的“優(yōu)數(shù)” 的個(gè)數(shù)是.