Question

設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在x軸上,離心率e=,已知點(diǎn)P(0,)到這個(gè)橢圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為,求這個(gè)橢圓方程,并求橢圓上到點(diǎn)P的距離為的點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

橢圓方程為+y²=1.

∵|PM|_max=時(shí),y=-,∴x=±.

∴橢圓上到P點(diǎn)的距離為7的點(diǎn)有兩個(gè)(±,-).

解析:

設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0).

∵e==,

∴c²=a².

由a²=b²+c²,得a=2b,故橢圓方程是+=1(b>0).

設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn),則x²=4b²-4y²,

∴|PM|²=x²+(y-)²=4b²-4y²+y²-3y+=-3y²-3y++4b²=-3(y+)²+3+4b².

∵-b≤y≤b(討論與［-b,b］間的關(guān)系),

若b>,則當(dāng)y=-時(shí),|PM|_max==,∴b=1.

若0<b<,則當(dāng)y=-b時(shí),|PM|_max==.

∴|b+|=.

∴b=-與b<矛盾.

綜上所述b=1.

∴所求橢圓方程為+y²=1.

∵|PM|_max=時(shí),y=-,∴x=±.

∴橢圓上到P點(diǎn)的距離為7的點(diǎn)有兩個(gè)(±,-).