Question

（2013•牡丹江一模）下列命題中，正確的是

（1）（2）（3）

（1）平面向量

a

與

b

的夾角為60°，

a

=(2，0)，|

b

|=1，則|

a

+

b

|=

7

（2）在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列則B=

π

3

（3）O是△ABC所在平面上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：

OP

=

OA

+λ(

AB

sinC

+

AC

sinB

)，λ∈（0，+∞），則直線AP一定通過△ABC的內(nèi)心
（4）設(shè)函數(shù)f（x）=

x-[x]，x≥0 f(x+1)，x＜0

其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[-1.3]=-2，[1.3]=1，則函數(shù)y=f（x）-

1

4

x-

1

4

不同零點(diǎn)的個(gè)數(shù)2個(gè)．

Answer 1

分析：根據(jù)平方法，求出|

a

+

b

|，可判斷（1），利用正弦定理的邊角互化，結(jié)合和差角公式及特殊角的三角函數(shù)值，可判斷（2），根據(jù)向量加法的幾何意義，可判斷出P點(diǎn)在角A的平分線上，進(jìn)而判斷出（3），根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義判斷出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可判斷（4）．

解答：解：∵

a

=(2，0)，|

b

|=1，

a

與

b

的夾角為60°，
∴|

a

+

b

|²=4+1+2=7，故|

a

+

b

|=

7

，即（1）正確；
acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列，則2bcosB=acosC+ccosA，
2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosB=sin（A+C）=sinB
即2cosB=1，即cosB=

1

2

，故B=

π

3

，即（2）正確；
O是△ABC所在平面上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：

OP

=

OA

+λ(

AB

sinC

+

AC

sinB

)，λ∈（0，+∞），則P在角A的平分線上，故直線AP一定通過△ABC的內(nèi)心，即（3）正確；
設(shè)函數(shù)f（x）=

x-[x]，x≥0 f(x+1)，x＜0

，則函數(shù)y=f（x）-

1

4

x-

1

4

不同零點(diǎn)的個(gè)數(shù)3個(gè)，故（4）錯(cuò)誤
故正確的命題有：（1）（2）（3）
故答案為：（1）（2）（3）

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，考查了向量的模，正弦定理，平面向量的加法的幾何意義，函數(shù)的零點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度中檔．